Ejercicios Resueltos de Cinemática: Movimiento Parabólico, Caída Libre y Frenado

Problema del Bombero: Cálculo de Trayectoria y Velocidad del Agua

a) Velocidad de Salida del Agua de la Manguera

Para resolver este problema de movimiento parabólico, consideramos las ecuaciones de movimiento horizontal y vertical del agua:

1. La ecuación del movimiento horizontal es:

   x = v0 * cos(θ) * t

   Donde x = 15 m es la distancia horizontal que el agua debe alcanzar.

2. La ecuación del movimiento vertical es:

   y = y0 + v0 * sin(θ) * t - (1/2) * g * t^2

   Sustituyendo los valores conocidos (y = 10 m, y0 = 1 m, x = 15 m, θ = 60° y g = 9.81 m/s²), y expresando t en función de x y v0 desde la ecuación horizontal (t = x / (v0 * cos(θ))), obtenemos la ecuación para la velocidad inicial v0:

   10 = 1 + 15 * tan(60°) - (9.81 / 2) * (15^2 / (v0^2 * cos^2(60°)))

   Al resolver esta ecuación para v0, obtenemos:

   v0 ≈ 16.12 m/s

b) Interceptación del Árbol por el Agua

Para determinar si el agua intercepta el árbol, evaluamos la altura del chorro a una distancia horizontal de 3 metros desde el origen:

1. La altura del agua a 3 metros (x = 3 m) se calcula usando la misma ecuación de movimiento vertical, sustituyendo v0 ≈ 16.12 m/s y t = x / (v0 * cos(θ)):

   h_agua = y0 + x * tan(θ) - (9.81 / 2) * (x^2 / (v0^2 * cos^2(θ)))

   h_agua = 1 + 3 * tan(60°) - (9.81 / 2) * (3^2 / (16.12)^2 * cos^2(60°))

   Esto nos da:

   h_agua ≈ 5.52 m

2. Como la altura del árbol es de h_árbol = 6 m, y la altura del agua a esa distancia es 5.52 m, el agua no interceptará el árbol, ya que pasará por debajo de él.

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Problema de las Dos Piedras: Encuentro y Velocidades

a) Tiempo y Velocidades en el Instante de Cruce

Consideramos dos piedras con movimiento vertical. La primera cae libremente y la segunda es lanzada hacia arriba.

Piedra 1 (Caída Libre)

La ecuación de posición para la piedra 1, que cae desde 90 metros, es:

y₁(t) = 90 - (1/2) * g * t²

Piedra 2 (Lanzamiento Vertical Hacia Arriba)

La ecuación de posición para la piedra 2, lanzada hacia arriba con una velocidad inicial v₀ = 40 m/s, es:

y₂(t) = v₀ * t - (1/2) * g * t²

Para encontrar el instante de cruce (t_c), igualamos las dos ecuaciones de posición:

90 - (1/2) * g * t_c² = v₀ * t_c - (1/2) * g * t_c²

Eliminamos el término (1/2) * g * t_c² de ambos lados, simplificando la ecuación a:

90 = v₀ * t_c

Sustituyendo v₀ = 40 m/s:

t_c = 90 / 40 = 2.25 segundos

Velocidades en el Instante de Cruce

Calculamos las velocidades de cada piedra en el instante de cruce (t_c = 2.25 s), usando g = 9.81 m/s²:

• Piedra 1: La velocidad de la piedra en caída libre es v₁ = -g * t_c.

v₁ = -9.81 * 2.25 = -22.1 m/s (hacia abajo)

Piedra 2: La velocidad de la piedra lanzada hacia arriba es v₂ = v₀ - g * t_c.

v₂ = 40 - 9.81 * 2.25 = 40 - 22.1 = 17.9 m/s (hacia arriba)

Resultado a: El tiempo de cruce es 2.25 segundos. Las velocidades son: Piedra 1: -22.1 m/s (hacia abajo) y Piedra 2: 17.9 m/s (hacia arriba).

b) Velocidad de la Piedra 1 al Chocar contra el Suelo

Para calcular la velocidad de la piedra 1 justo antes de chocar contra el suelo (desde una altura de 90 m), usamos la ecuación de caída libre:

v² = v₀² + 2 * g * h

Donde v₀ = 0 m/s (parte del reposo) y h = 90 m:

v² = 0² + 2 * 9.81 * 90

v² = 1766.2

v = √1766.2 ≈ 42.0 m/s

Resultado b: La velocidad de la piedra 1 al chocar contra el suelo es 42.0 m/s (hacia abajo).

c) Altura Máxima Alcanzada por la Segunda Piedra

La altura máxima de la segunda piedra ocurre cuando su velocidad instantánea se vuelve cero (v = 0).

Primero, calculamos el tiempo (t_max) que tarda en alcanzar esa altura:

v = v₀ - g * t_max

0 = 40 - 9.81 * t_max

t_max = 40 / 9.81 ≈ 4.08 segundos

Ahora, calculamos la altura máxima (y_max) usando la ecuación de posición con este tiempo:

y_max = v₀ * t_max - (1/2) * g * t_max²

y_max = 40 * 4.08 - (1/2) * 9.81 * (4.08)²

y_max = 163.2 - 81.4 = 81.8 m

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Problema del Coche: Cinemática Lineal y Rotacional del Frenado

Un coche con ruedas de 60 cm (0.6 m) de diámetro circula a una velocidad constante de 100 km/h, lo cual equivale a v₀ = 27.78 m/s. El radio de las ruedas es r = 0.3 m. En un instante, el coche comienza a frenar y se detiene completamente en 25 segundos.

a) Aceleración Lineal Antes del Frenado

Antes de que el coche comience a frenar, se mueve a una velocidad constante. Por definición, un objeto que se mueve a velocidad constante tiene una aceleración lineal de cero.

Aceleración antes de frenar = 0 m/s²

b) Aceleración Angular de Frenado

Para calcular la aceleración angular, primero convertimos la velocidad lineal inicial del coche a velocidad angular inicial de las ruedas:

ω₀ = v₀ / r = 27.78 m/s / 0.3 m = 92.6 rad/s

Dado que el coche se detiene, la velocidad angular final (ω_f) es 0 rad/s. La aceleración angular (α) se calcula como:

α = (ω_f - ω₀) / t = (0 - 92.6 rad/s) / 25 s = -3.70 rad/s²

c) Número de Vueltas de las Ruedas Hasta Detenerse

El desplazamiento angular (θ) de las ruedas durante el frenado se calcula con la siguiente ecuación:

θ = ω₀ * t + (1/2) * α * t²

Sustituyendo los valores:

θ = 92.6 rad/s * 25 s + (1/2) * (-3.70 rad/s²) * (25 s)²

θ = 2315 rad - 1156.25 rad

θ = 1158.75 rad

Para convertir el desplazamiento angular a número de vueltas (n), dividimos por 2π (una vuelta completa):

n = θ / (2π) = 1158.75 rad / 6.2832 rad/vuelta ≈ 184.5 vueltas

d) Distancia de Frenado del Coche

Primero, calculamos la aceleración lineal (a) del coche durante el frenado:

a = (v_f - v₀) / t = (0 m/s - 27.78 m/s) / 25 s = -1.11 m/s²

La distancia recorrida (x) durante el frenado se calcula con la ecuación de movimiento lineal:

x = v₀ * t + (1/2) * a * t²

Sustituyendo los valores:

x = 27.78 m/s * 25 s + (1/2) * (-1.11 m/s²) * (25 s)²

x = 694.5 - 347 = 347.5 m