Ejercicios Resueltos de Álgebra Vectorial, Planos y Rectas en el Espacio Tridimensional
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1.Dados los vectores u:(0,1,1) v(1,0,1) w(2,3,m)
a)
¿Para que valores de m los tres vectores son linealmente dependientes?
Se hace el determinante con esos tres vectores y se despeja m, el valor de salga sera linealmente dependiente.
b)
¿Para que valores de m los vectores v y w forman un ángulo de 45?
Usar el producto escalar: v.W= |v||w|cos45
(acordarse de elevar ambos al cuadrado para quitar raíces)
c)
¿Para que valores de m los vectores forman un paralelogramo cuya área es 3#3?
Aplicar la formula |u·w|=área
en este caso |u·w|=3#3, hay que sacar el vector i,j,k con el determinante y despejar m (acordarse de elevar al cuadrado pafra quitar raíces) y lo que nos de las soluciones sera la respuesta.
2. Dado el punto A(5,2,8) y el plano &:2x-y+3z=4
a)Halla el punto A´simétrico al del plano &.
1.
Recta perpendicular al plano que pase por A. Para ello creamos la recta 'r' que se obtendrá de los puntos de A y sus vectores serán los del plano (2,-1,3) decir:
Recta perpendicular al plano que pase por A. Para ello creamos la recta 'r' que se obtendrá de los puntos de A y sus vectores serán los del plano (2,-1,3) decir:
x=5+2@
y=2-@
z=8+3@
2. r-intersección-&
sustituimos x,y,z de la recta en la ecuación dada del plano &. Nos dará el resultado de la @ que abrá que sustituir en las ecuaciones de la recta 'r'. El resultado de esas tres ecuaciones serán las coordenadas del punto
M.
M.
Ahora dividiríamos entre dos:
(1,4,2)= ((5+x)/2 ; (2+y)/2 ; (8+z)/2)), el resultado sera las cordenadas del punto simétrico que da como resultado (-3,6,-4)
B) Hallar el punto A'' que esté a doble distancia del plano & de lo que esta el punto A'
Tenemos el punto A(5,2,8) y el punto M (1,4,2)(que lo hemos sacado de antes)
A'' es simétrico de M con respecto a A'
(-3,6,-4)= ((1+x)/2) ; (4+y)/2 ; (2+z)/2))
se despeja lo de la derecha y lo que nos salga serán las coordenadas del punto A''.
3. Dadas las rectas r: ((x-a)/2 ; (y-1)/-3 ; (z+1)/1)) y la s: ((x+1)/1 ; (y+2)/-2 ; (z-4)/2 ))
A) Hallar su posición relativa en función de los valores del parámetro a
1.Sacamos los vectores de la recta r y s y comprobamos que no coinciden ni son proporcionales, por lo tanto, podemos decir que no son nin coincidentes ni paralelas.
2. Las rectas se cortan o se cruzan. Sacamos un punto de las dos rectas y lo juntamos haciendo vector: Pr: (a,1,-1) Ps: (1, -2,4)
Vector de PrPs: (1-a, -3, 5)
Hacemos el determinante con el vector PrPs, Pr, Ps. Si el resultado de a es =0 se cortan y si da diferente a 0 se cruzan.
b)Para los valores de a para los que las dos rectas se cortan, hallar la ecuación general del plano que las contiene.
1.Se parte de que a=0
se sustituye a en las ecuaciones de r y s que nos daban al principio y después sacaremos el vector de r y s, que son vr(2,-3,1) y vs(1,-2,2). 2.También sacaremos un punto de cualquiera de las rectas , en este caso de la recta r, por ejemplo (0,1,-1). Y los agrupamos: los dos vectores y un punto.
3. Se hace un determinante con el numerador de una de las rectas, en este caso la de la recta r y con los vectores ya sacados Vr y Vs, quedaría así:
x y-1 z+1
2 -3 1 =0
1 -2 2
4. Se realizaría el determinante igualándolo a 0 y lo que nos saliese sería la ecuación general del plano.
4.Dadas las rectas r: ((x-2)/5 ; (y+3)/2 ; (z/3)) y s: x=-2+@
Y=5+@
Z=3@
A)Hallar la distancia entre las dos rectas
1. Sacamos los vectores de Vr y Vs y concluimos que nos paralelas ni coincidentes.
2.Sacamos un punto de Pr y Ps y formamos el vector PrPs, con el que luego haremos el determinante con PrPs, Pr, Ps, concluyendo si se cruzan o cortan, dependiendo si da 0 o no.
3.Para después poder hallar la formula de la distancia primero tendremos que hacer el determinante con i j k y Vr y Vs
4. Con la ecuación de distancia d(r,s)= [VPrPs, Vr, Vs ] / |Vr · Vs| ]
El modulo de Vr ·Vs lo sacamos haciencendo el modulo que nos ha salido antes haciendo el determinante.
b) Hallar la ecuación de la recta r' que pasa por el punto A(1,1,0) y tiene dirección perpendicular a las dos rectas dadas.
1.El vector resultante que hemos sacado antes de el determinante i j k es un vector perpendicular a r y s.
2. Cogemos el vector Vr' de antes y el punto A (los colocamos con una llave como siempre) y ponemos que da lugar a r'.
3. Se halla la ecuación con fracciones, abajo los vectores y arriba los puntos.