Ejercicios Resueltos de Álgebra: Funciones Lineales y Cuadráticas

Ejercicios Resueltos de Álgebra: Funciones Lineales y Cuadráticas

A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos que abarcan diferentes aplicaciones de funciones lineales y cuadráticas.

Ejercicio 1: Ingresos por Revisión Técnica de Buses

El servicio de revisión técnica Durazno determinó que el ingreso, en pesos, obtenido de la revisión de los buses está dado por la función: %IMAGE_1%, donde %IMAGE_2% indica la cantidad de buses que han pasado la revisión técnica.

a) Cálculo del ingreso para 50 buses

Si reemplazamos x = 50 en la función de ingreso, tenemos:

%IMAGE_4%

%IMAGE_5%

%IMAGE_6%

%IMAGE_7%

Respuesta: El ingreso por la revisión de 50 buses es de $993.500.

b) Cálculo de la cantidad de buses para un ingreso determinado

Si el ingreso fue de %IMAGE_3%, necesitamos encontrar la cantidad de buses (x) que generaron ese ingreso. Para ello, resolvemos la ecuación:

%IMAGE_8%

%IMAGE_9%

%IMAGE_10%

%IMAGE_11%

Respuesta: Se realizaron la revisión a 36 buses.

Ejercicio 2: Tiempo de Revisión de Medidores

Un eléctrico debe revisar el medidor de luz de distintos edificios. El tiempo de demora está dado por la función: %IMAGE_12%, donde %IMAGE_13% es el tiempo, en minutos, que tarda en revisar todos los medidores y %IMAGE_14% es la cantidad de medidores que revisa.

a) Tiempo para revisar 98 medidores

Si reemplazamos m = 98 en la función de tiempo, tenemos:

%IMAGE_16%

%IMAGE_17%

%IMAGE_18%

Respuesta: El tiempo para revisar 98 medidores es de 424 minutos.

b) Cantidad de medidores revisados en un tiempo determinado

Si en un día trabaja %IMAGE_15% horas, primero debemos convertir este tiempo a minutos: %IMAGE_15% horas * 60 minutos/hora = 970 minutos. Ahora, necesitamos encontrar la cantidad de medidores (m) que se pueden revisar en ese tiempo. Resolvemos la ecuación:

%IMAGE_19%

Respuesta: Se pueden revisar 194 medidores.

Ejercicio 3: Depreciación Lineal de un Bien

El valor contable de ciertos bienes se determina depreciando linealmente el valor original del bien en un período fijo. Esta situación está modelada en el gráfico %IMAGE_20%.

a) Función que modela la situación

Sean %IMAGE_22% y %IMAGE_23%. Calculamos la pendiente:

%IMAGE_24%

La ecuación de la recta será:

%IMAGE_25%

Entonces, la función precio es: %IMAGE_26%

Respuesta: La función que modela el problema es %IMAGE_27%.

b) Precio del bien a los 14 años

Reemplazamos x = 14 en la función de precio:

%IMAGE_28%

Respuesta: A los 14 años, el bien tendrá un valor de $900.

c) Tiempo para que el bien no tenga valor

Para encontrar el tiempo en que el bien no tendrá valor, igualamos la función de precio a cero:

%IMAGE_29%

Respuesta: A los 25 años aproximadamente, el bien no tendrá valor.

Ejercicio 4: Muertes por Dióxido de Sulfuro

El número de muertes por semana, N, está linealmente relacionado con la concentración promedio de dióxido de sulfuro en el aire, x. Esta situación está modelada por el gráfico %IMAGE_30%.

a) Función que modela la situación

Sean %IMAGE_33% y %IMAGE_34%. Calculamos la pendiente:

%IMAGE_35%

La ecuación de la recta será:

%IMAGE_36%

%IMAGE_37%

Entonces, la función precio es: %IMAGE_38%

Respuesta: La función que modela el problema es %IMAGE_39%.

b) Muertes con una concentración de 900 de dióxido de sulfuro

Reemplazamos x = 900 en la función:

%IMAGE_40%

Respuesta: Habría 123 muertes.

c) Concentración de dióxido de sulfuro para 175 muertes

Si N = 175, entonces:

%IMAGE_41%

%IMAGE_42%

%IMAGE_43%

Respuesta: Habrá %IMAGE_44% de dióxido de sulfuro.

Ejercicio 5: Valor de Acciones

En enero del año 2005, las acciones de una compañía se valorizaban en 30 U$, cada una. Debido a una inadecuada estrategia publicitaria, las acciones comenzaron a caer a razón de 2U$ por mes. Si esta crisis duró 6 meses, determine:

a) Función Valor de una acción

%IMAGE_45%

b) Dominio de la función

Dom (V) = %IMAGE_46%

c) Valor de una acción después de 3 meses

%IMAGE_47%

%IMAGE_48%

Respuesta: El valor de la acción a los 3 meses es de 24 dólares.

d) Meses transcurridos para un valor de 22U$

%IMAGE_49%

Respuesta: Han transcurrido 4 meses.

Ejercicio 6: Sueldo de un Técnico en Informática

Un técnico en informática tiene un sueldo fijo de $575.000, el que puede incrementar limpiando bases de datos. Si por cada base de datos “limpia” recibe un bono de $30.000, y considerando que no puede “limpiar” más de 10 bases mensuales, determine:

a) Función Sueldo

%IMAGE_50%

b) Dominio de la función

Dom (S) = %IMAGE_51%

c) Sueldo mensual al limpiar 4 bases de datos

%IMAGE_52%

Respuesta: El sueldo mensual si se limpian 4 bases de datos es $695.000.

d) Bases de datos limpiadas para un sueldo de $815.000

%IMAGE_53%

%IMAGE_54%

Respuesta: Se limpiaron 8 bases de datos.

Ejercicio 7: Arriendo de Automóviles

La compañía “Mena” arrienda automóviles “Toyota” a $10.500 por día, más $40 por kilómetro recorrido. La compañía “González” arrienda el mismo tipo de automóvil por $8.900 por día, más $60 por kilómetro recorrido. Sabiendo que si recorre 80 kilómetros en dicho automóvil en ambas compañías le cobran lo mismo, ¿en cuál de las dos compañías conviene arrendar el automóvil si quiere recorrer 215 kilómetros?

%IMAGE_55%

%IMAGE_56%

%IMAGE_57%

Respuesta: Le conviene arrendar el automóvil en Mena Company.

8.- Una empresa de radio taxis, desea llevar sus vehículos para hacerles mantención. Para ello cotiza en dos talleres mecánicos. El primer taller le cobra $25.000 por hacerle mantenimiento a cada automóvil más $20.000 de insumos y el segundo taller le cobra $20.000 por automóvil más $35.000 por insumos. Sabiendo que si lleva tres vehículos en ambos talleres le cobran lo mismo. ¿En qué taller mecánico le cobran más barato si quiere hacerle mantención a nueve de sus automóviles? (2 puntos)

DESARROLLO

%IMAGE_58%

%IMAGE_59%

%IMAGE_60%

Respuesta: En el Taller 2  le cobran más barato por la mantención

                   de 9 automóviles.

9.- La ocupación de camas de hospitales en el país se estima por la función  %IMAGE_61%  donde %IMAGE_62% indica el número de enfermos y %IMAGE_63%  pertenece a  [1,365] que indica los días del año.

a) ¿Cuántas camas se estima que habrá ocupadas el primer día de abril? (2 puntos)

b) ¿Hasta qué día del primer semestre del año se estima que habrá 18.566 camas ocupadas?  (2 puntos)

DESARROLLO

1. El primer día de abril han pasado 91 días. Así t=91, entonces

%IMAGE_64%

Respuesta:  Se estiman 30.786 camas ocupadas el primer día de Abril.

1. %IMAGE_65%

    %IMAGE_66%

%IMAGE_67%

%IMAGE_68%

Respuesta: Hasta el día 39 se estima que habrá 18.566 camas ocupadas el

primer semestre.

10.- La temperatura mínima en una zona vitivinícola se estima mediante la función %IMAGE_69% , donde %IMAGE_70%  indica grados Celsius, (°C) y t pertenece a [1,12] e indica el mes del año.

1. ¿Cuántos grados se estima que habrá en octubre? (2 puntos)
   1. ¿En qué mes comenzarán las heladas (0°C)? (2 puntos)

DESARROLLO

1. En el mes de octubre. Así t=10, entonces

    %IMAGE_71%

Respuesta: Se estiman que habrán 6°C como mínimo en Octubre.

1. %IMAGE_72%        %IMAGE_73%

Respuesta: Las heladas comenzaran en el mes de Abril.

11.- Un agricultor de flores, controla su cultivo midiendo la temperatura en grados Celsius que hay después de la media noche al interior de su invernadero, según las t horas transcurridas. Dada la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación: (4 puntos)

%IMAGE_74%

DESARROLLO

Claramente, %IMAGE_75%

%IMAGE_76% y %IMAGE_77% .

 Luego: %IMAGE_78%     → %IMAGE_79%   → %IMAGE_80%

     Y   %IMAGE_81%     → %IMAGE_82%   → %IMAGE_83%

Respuesta: La función es:  %IMAGE_84%

12.- La altura (medida en metros) de un montículo que debe sobrepasar una moto en una pista de motocross, depende del  tiempo  (medido en segundos) que dura el salto. Según la siguiente gráfica determine la función cuadrática que modela dicha situación. (4 puntos)

%IMAGE_85%                                      

                                                                                       b = 8             

DESARROLLO

Claramente, %IMAGE_86%  y  %IMAGE_87% . Además %IMAGE_88%  y %IMAGE_89%

Luego: %IMAGE_90%     →     0 + 4 = %IMAGE_91%   → %IMAGE_92%

Respuesta: La función es:  %IMAGE_93%

13.- En una empresa agrícola, la utilidad (en miles de dólares) al vender %IMAGE_94%  repuestos para tractores agrícolas está dada por la función, %IMAGE_95% . Encontrar la cantidad de repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad.

1. Encontrar la cantidad de  repuestos que se deben vender para obtener la máxima utilidad. (2 puntos)
2. ¿Cuál es la utilidad máxima? (2 puntos)

DESARROLLO

Esta es una función que el máximo se encuentra en el vértice. Así el vértice es

%IMAGE_96%

Reemplazamos

%IMAGE_97%

%IMAGE_98%

%IMAGE_99%

%IMAGE_100%

Así %IMAGE_101%

Respuesta:      a) La cantidad de repuestos que maximizan la utilidad es 11.

                       b)  la utilidad máxima es de 726.000 dólares.

14.- En una empresa de electricidad, la utilidad (en dólares) al vender %IMAGE_102%  abrazaderas está dada por la función, %IMAGE_103% .

a) Encontrar la cantidad de abrazaderas que se deben vender para obtener la máxima utilidad. (2 puntos)

b)  ¿Cuál es la utilidad máxima? (2 puntos)

DESARROLLO

Esta es una función que el máximo se encuentra en el vértice. Así el vértice es

%IMAGE_104%

Reemplazamos

%IMAGE_105%

%IMAGE_106%

%IMAGE_107%

%IMAGE_108%

%IMAGE_109%

Así    %IMAGE_110%

Respuesta: a)  La cantidad de abrazaderas que maximizan la utilidad es de 300.

b) La utilidad máxima es de 3.000 dólares.

15.- La altura h (en metros) que alcanzan dos objetos A y B después de transcurridos  t segundos está  dado  por :  %IMAGE_111%   %IMAGE_112% . Si los dos objetos se lanzan al mismo tiempo,

a) ¿Después de cuántos segundos los objetos chocan?   (2 puntos)

b) ¿A qué altura? (2 puntos)

DESARROLLO

1. %IMAGE_113%

      %IMAGE_114%

      %IMAGE_115%

%IMAGE_116%   y  %IMAGE_117%

Respuesta: A los 15 segundos.

1. %IMAGE_118%

%IMAGE_119%

%IMAGE_120%

Respuesta: La altura fue de 3.750 metros

16.- Un grupo de trabajadores de una empresa logran fabricar %IMAGE_121% artículos de aseo en t días y otro grupo de igual número de trabajadores fábrica  %IMAGE_122%  artículos en t  días.

1. ¿Habrá alguna cantidad de días el cuál la producción sea la misma?  
   1. ¿Cuál es esa producción? 

DESARROLLO

1. %IMAGE_123%

%IMAGE_124%

%IMAGE_125%

%IMAGE_126%

%IMAGE_127%

Respuesta: A los 7 días la producción es la misma.

1. %IMAGE_128%

      %IMAGE_129%

      %IMAGE_130%

Respuesta: La producción es de 77 artículos de aseo a los 7 días.