Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable para optimización

Ejercicios resueltos de álgebra y cálculo multivariable

1. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial S de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones. Encuentre una base de S y escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

Dimensión = n - número de ecuaciones cartesianas linealmente independientes (LI). Si una variable no aparece en las ecuaciones cartesianas, es un parámetro. Si aparece en ambas, también lo es. Se define S = {&, &, &, @} y, como la dimensión es 2, se buscan 2 vectores para la base.

2. Aplicación lineal en R²

La aplicación lineal f: R² -> R² es tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1). Exprese la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución:

Sea A = 1 & 0 \ 1 & -1 . Restamos λ en la diagonal y calculamos los autovalores y sus múltiplos. Por ejemplo, si λ = 1:

0 & 0 \ 1 & -2 x \ y = 0 \ 0 . Quedaría x - 2y = 0, por lo que x = 2y. El rango es 1, entonces S(λ) = (2&, &) ∈ R. Comprobamos:

Dim S = número mínimo de parámetros = 1 = multiplicidad. Se realiza el mismo procedimiento para cada λ. Si A es diagonalizable, entonces A = PDP^-1.

A se obtiene del enunciado, P se forma con las bases obtenidas en columnas y D es una matriz diagonal con los autovalores en la diagonal y 0 en el resto.

3. Estudio de función en un punto

Dada la función f(x, y, z) = x² + 2y² + 2xz - yz, estudie el comportamiento y la tendencia de f en el punto a = (1, -1, -1) en la dirección (1, 1, 1).

Solución:

∇f(x, y, z) = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z). Sustituimos el punto en el gradiente. Luego, calculamos la matriz Hessiana Hf(x, y, z) derivando nuevamente las derivadas parciales y sustituimos el punto si es posible. Por ejemplo: Hf(1, -1, -1) = 2 & 0 & 2 \ 0 & 4 & -1 \ 2 & -1 & 0 .

Calculamos f' = ∇f(punto) * dirección (en columna). Por ejemplo: (0, -3, 3) * 1 \ 1 \ 1 = 0.

Calculamos f'' = dirección (en fila) * Hf(punto) * dirección (en columna).

4. Variedad lineal en R⁴

Considere la variedad lineal de R⁴: L[(1, 0, 1, 0); (-3, 1, -k, 0), (0, 1, 1, 0)].

a) Estudie la dimensión del subespacio según el valor del parámetro k.

b) Facilite las ecuaciones cartesianas para el caso de que k = 0.

Solución:

a) Despejamos k. Si el valor de k es igual al obtenido, entonces el rango y la dimensión disminuyen en 1. Si k es distinto, la dimensión y el rango se mantienen.

b) Como el rango es 4, tenemos t. Por lo tanto, sería t * A (sustituyendo k = 0). En A, multiplicamos en cruz. Por ejemplo, si da -2t, entonces S = {(x, y, z, t) ∈ R³ | 2t}.

5. Optimización de función

Optimice la función f(x, y).

Solución:

Derivamos con respecto a x e igualamos a 0, y derivamos con respecto a y e igualamos a 0. Obtenemos los valores de x e y (puntos críticos). Luego, calculamos la matriz Hessiana Hf (derivada de la derivada) y sustituimos los puntos críticos. Aplicamos el criterio de Sylvester (A₁ > 0, etc.).

6. Endomorfismo diagonalizable

Sea f: R² -> R² un endomorfismo diagonalizable tal que f(v₁) = v₁ y f(v₂) = 2v₂, y sea x = 2v₁ - 3v₂.

a) Encuentre las coordenadas del vector f(x) en la base B = {v₁, v₂}.

b) Si B = {v₁ = (1, -2); v₂ = (0, 1)}, calcule A¹⁰⁰⁰, siendo A la matriz asociada a f en la base canónica.

Solución:

a) f(x) = f(2v₁ - 3v₂) -> f(x) = 2f(v₁) - 3f(v₂) = 2v₁ - 6v₂ = (2, -6) en B = {v₁, v₂}.

b) Si f(v₁) = v₁, entonces λ₁ = 1. Si f(v₂) = 2v₂, entonces λ₂ = 2. También se dan los valores de v₁ y v₂ en el enunciado. Entonces, A = PDP^-1; A¹⁰⁰⁰ = P * 1^{1000} & 0 \ 0 & 2^{1000} * P^-1, donde P se forma con v₁ y v₂ en columnas.

7. Subespacio vectorial en R³

Considere el subespacio vectorial de R³ dado por un sistema de ecuaciones.

a) Encuentre el valor de k para que su dimensión sea 1.

b) Facilite una base de dicho subespacio.

Solución:

a) dim = 3(n) - número de ecuaciones cartesianas (2) = 1 (enunciado). Escribimos las ecuaciones en filas, multiplicamos en cruz y obtenemos el valor de k.

b) Tomamos las 2 primeras ecuaciones S[...] y despejamos la variable común, que será el parámetro. Por ejemplo: {(3&, &, -&) ∈ R}, entonces la base sería {(3, 1, -1)}.

8. Cambio de base en R³

En el espacio vectorial R³, se considera la base B = {v₁ = e₁ - e₃; v₂ = e₂ - e₃; v₃ = e₁ - e₂}. Encuentre las coordenadas del vector x = -2v₁ + 2v₂ + v₃ en la base canónica E = {e₁, e₂, e₃}.

Solución:

x = (-2, 2, 1) en la base B. B = {(1, 0, -1); (0, 1, -1); (1, -1, 0)}. Entonces, -2(1, 0, -1) + 2(0, 1, -1) + (1, -1, 0) = %(1, 0, 0) + $(0, 1, 0) + &(0, 0, 1). Por lo tanto, -1 = %, $ = 1 y % = 0.

9. Comportamiento y clasificación de punto crítico

Considere la función f(x, y) = xy - 1/x + 1/y.

a) Estudie el comportamiento y la tendencia en el punto a(1, -1) en la dirección v(1, 1).

b) Clasifique el punto a(1, -1).

Solución:

a) Calculamos ∇f, Hf, f' y f''. Si f'' < 0, es decreciente. Si f'' > 0, es creciente.

b) Sustituimos el punto en ∇f. Si da (0, 0), es un punto crítico. Luego, calculamos Hf, sustituimos el punto y aplicamos el criterio de Sylvester (A₁ > 0, etc.).

10. Subespacio vectorial en R⁴

Considere el subespacio vectorial de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones.

a) Determine el valor del parámetro k para que la dimensión sea 3.

b) Facilite, en tal caso, una base de dicho subespacio.

Solución:

a) dim S = n - número de ecuaciones LI = 3 (enunciado), que es el número de parámetros. Calculamos k y obtenemos k = -2.

b) S = Tomamos la primera ecuación y despejamos x₁. Por ejemplo: x₁ = 2x₂ + 2x₄. Entonces, S = {(2$ + 2&, %, $, &)}. Como la dimensión es 3, la base tendrá 3 vectores, con 4 componentes cada uno.

11. Diagonalización de endomorfismo

Encuentre, si es posible, un cambio de base que diagonalice el endomorfismo de R³ -> R³ dado por las ecuaciones: y₁ = x₁; y₂ = x₁ + x₂; y₃ = x₁ + x₂ + x₃.

Solución:

f(x₁, x₂, x₃) = (x₁, x₁ + x₂, x₁ + x₂ + x₃). Escribimos las ecuaciones en filas. Diagonalizamos restando λ en la diagonal y calculamos los autovalores. Luego, restamos λ a cada fila y multiplicamos por la columna (x, y, z), igualando cada fila a 0. Despejamos, y las variables que no aparezcan son parámetros. Si la dimensión no coincide con la multiplicidad, no es diagonalizable.

12. Mínimo local

Sea la función f: R² -> R, de clase C², tal que en todo punto (x, y) se verifica: f''(x, y) = 2(x - ay)v₁ + 2(y - ax)v₂. Encuentre los valores del parámetro a ∈ R que hacen que el punto a = (0, 0) sea un mínimo local.

Solución:

f_x = 2(x - ay) -> f_x(0, 0) = 0. f_y = 2(y - ax) -> f_y(0, 0) = 0. Por lo tanto, (0, 0) es un punto crítico. Calculamos la matriz Hessiana Hf de cada una y sustituimos si es posible. Aplicamos el criterio de Sylvester: A₁ > 0, A₂ > 0. Para calcular a, despejamos en la multiplicación en cruz. Por ejemplo, si a = 1 y a = -1, entonces es mínimo local si -1 < a < 1.

13. Coordenadas en base canónica

Considere en R³ el vector x = 2v₁ - v₃. Encuentre sus coordenadas en la base canónica E = {e₁, e₂, e₃} si B = {v₁ = e₁ - e₃, v₂ = e₁ + e₂, v₃ = e₂ - e₃} es una base de R³.

Solución:

x = (2, 0, -1) en la base B. B = {(1, 0, -1), (1, 1, 0), (0, 1, -1)}. Por lo tanto, 2(1, 0, -1) + 0(1, 1, 0) - 1(0, 1, -1) = %(1, 0, 0) + $(0, 1, 0) + &(0, 0, 1). Entonces, % = 2, $ = -1 y & = -1.

14. Matriz asociada y matriz diagonal semejante

El endomorfismo R³ -> R³ transforma los vectores de la base canónica en los vectores: f(e₁) = (1, 0, 0); f(e₂) = (1, 1, 0); f(e₃) = (1, 1, 1). Exprese, si es posible, la relación entre la matriz asociada a f en la base canónica y su matriz diagonal semejante.

Solución:

Escribimos e₁, e₂ y e₃ en columnas y restamos λ en la diagonal. Calculamos los autovalores. Restamos λ a cada columna e igualamos a (x, y, z). La variable que no tenga ninguna letra es un parámetro, y las demás se igualan a 0. Al final, escribimos S(λ) = {(%, 0, 0) ∈ R} y comprobamos si la multiplicidad coincide con el número mínimo de parámetros para decidir si es diagonalizable o no.

15. Comportamiento decreciente y desacelerado

La función R² -> R de clase C² es tal que ∇f = (2(x - ay), 2(y - ax)). Determine los valores del parámetro a ∈ R que hacen que f presente un comportamiento decreciente y desacelerado en el punto (1, 1) y dirección (1, 2).

Solución:

Tenemos ∇f. Con ∇f, calculamos Hf. Luego, calculamos f' = ∇f(punto) * v (dirección en columna). Por ejemplo: (2 - 2a, 2 - 2a) * 1 \ 2 = 2 - 2a + 4 - 4a = 6 - 6a < 0 -> a > 1.

Luego, f'' = dirección (fila) * Hf(punto) * vector (columna). Por ejemplo: (1, 2) * 2 & -2a \ -2a & 2 * 1 \ 2 = (2 - 4a, -2a + 4) * 1 \ 2 = 2 - 4a - 4a + 8. Si da 5/4, entonces 1 < a < 5/4.

16. Subespacio en R³

Considere en R³ el subespacio S de ecuación cartesiana x₂ = x₁.

a) Calcule la dimensión de dicho subespacio y proporcione un sistema generador que no sea base.

b) Facilite las ecuaciones paramétricas de S.

Solución:

a) Dim = 3(R³) - 1 (solo hay una ecuación) = 2. Por lo tanto, S = {(%, %, &)}. Una base sería {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. Un sistema generador que no es base sería {(2, 2, 0), (1,1,0), (0,0,2)}.

b) S = {(%, %, &) | %, & ∈ R}.

17. Matriz diagonal semejante

Encuentre, si es posible, una matriz diagonal semejante para el endomorfismo de R³ dado por un sistema de ecuaciones.

Solución:

Escribimos los valores de forma seguida, restamos λ en la diagonal y calculamos los autovalores y su multiplicidad. Multiplicamos el resultado de la resta del primer autovalor por (x, y, z) e igualamos a 0. Obtenemos una base y comprobamos si se cumple o no con la multiplicidad.

18. Comportamiento, tendencia y optimización de función

Dada una función, se pide:

a) Comportamiento y tendencia en un punto y dirección dados.

b) Optimizar la función.

Solución:

a) ∇f: derivamos con respecto a x y con respecto a y, y sustituimos por el punto. Luego, calculamos Hf y sustituimos por el punto. Después, f' = ∇f(punto) * dirección (columna) > 0, y f'' = dirección (fila) * Hf(punto) * v (columna). Por ejemplo: (1, 0) * 2 & -1 \ -1 & 2 = (2, -1). Decimos si es > 0 o < 0.

b) Para optimizar, seguimos los pasos del ejercicio 5.

19. Base de subespacio vectorial

Facilite una base del subespacio vectorial de R⁴ dado por un sistema de ecuaciones.

Solución:

Lo pasamos a rango 3, ya que una ecuación es 0. Volvemos a calcular el rango para saber si es 3 o menos. Si da diferente de 0, entonces es 3. La dimensión (número mínimo de parámetros) nos indica cuántas bases hay.

20. Coordenadas en nueva base

Encuentre las coordenadas del vector x = e₁ + 5e₂ en la base B' = {v₁ = 2e₁ + e₂; v₂ = e₁ + 2e₂}, siendo E = {e₁, e₂} la base canónica de R².

Solución:

x = (1, 5) en la base canónica. E = {(1, 0), (0, 1)}. B' = {(2, 1), (1, 2)}. 1(1, 0) + 5(0, 1) = %(2, 1) + &(1, 2). Igualamos y obtenemos los valores de % y &.

21. Comportamiento y tendencia

Considere f(x, y) = xy + 1/x + 1/y. Estudie el comportamiento y la tendencia en el punto (1, 1) y en la dirección v(1, 1).

Solución:

Calculamos ∇f y sustituimos por el punto. Luego, calculamos Hf y sustituimos por el punto. Calculamos f' = ∇f(punto) * v (columna) y f'' = dirección (fila) * Hf(punto) * v (columna). Por ejemplo: (-1, 1) * 2 & 1 \ 1 & 2 = (-1, 1) * v (columna).

22. Óptimos relativos

Encuentre los óptimos relativos de f(x,y) = 3x³ + xy² - 25x + 20.

Solución:

Derivamos con respecto a x y con respecto a y. Si obtenemos xy, entonces en una ecuación y = 0 y en la otra x = 0, y despejamos ambas. Con esto, calculamos los puntos críticos. Luego, calculamos la matriz Hessiana Hf de los puntos críticos y aplicamos el criterio de Sylvester (A₁ > 0, etc.).

23. Endomorfismo en R³

El endomorfismo R³ -> R³ es tal que f(e₁) = e₁ + e₂ + e₃, f(e₂) = e₂ + e₃ y f(e₃) = e₃.

a) Encuentre la imagen del vector x = (2, -4, 3) en la base B = {(1, -1, 0), (0, 2, 0), (-2, 0, 1)}.

b) Obtenga las ecuaciones de f referidas a la base B del apartado anterior.

Solución:

a) x = (2, -4, 3). Sustituimos en f(e₁), f(e₂), f(e₃) y obtenemos (2, -2, 1). Calculamos (2, -2, 1) = %(1, -1, 0) + $(0, 2, 0) + &(-2, 0, 1). Obtenemos los parámetros. El resultado es, por ejemplo, (4, 1, 1).

b) Con los valores obtenidos en el apartado anterior, podemos escribir las ecuaciones de f referidas a la base B.

24. Subespacio en R⁵

Dado un subespacio en R⁵ por un sistema de ecuaciones:

a) Determine la dimensión y una base.

b) Escriba sus ecuaciones paramétricas.

Solución:

a) Dimensión = n - número de ecuaciones LI = 5 - 3 = 2. Calculamos el rango y, si es distinto de 0, ese es el rango. Las variables que no aparecen son parámetros, y las que dan 0 se igualan a 0.

b) Escribimos las ecuaciones paramétricas en función de los parámetros obtenidos.