Ejercicios Prácticos de Mecánica de Fluidos e Hidráulica para Ingeniería

Problema 1: Cálculo del Esfuerzo Cortante en Flujo Laminar

Descripción del Problema

Se presenta un problema de flujo entre dos placas separadas y cm, con una distribución de velocidades μ(y) = 120(0.05 - y²) y flujo de agua a 10°C. El objetivo es calcular la magnitud del esfuerzo cortante.

Datos

• Distribución de velocidades: μ(y) = 120(0.05 - y²)
• Temperatura del agua: 10°C
• Viscosidad dinámica (μ) del agua a 10°C (de tablas): 1.36 kg·s/m²

Ecuaciones y Cálculos

La función de velocidad proporcionada es μ(y) = 6y - 0.05y². Derivando esta expresión para obtener el gradiente de velocidad:

dμ/dy = 6 - 0.1y

Aplicando la ley de viscosidad de Newton para el esfuerzo cortante (τ = μ * (dμ/dy)), se sustituyen los valores:

τ = 1.36 * (6 - 0.1y)

Resultado

Al sustituir el valor de y proporcionado en el problema (por ejemplo, si y = 0.15 m), el esfuerzo cortante (τ) es:

τ = 1.36 * (6 - 0.1 * 0.15) = 1.36 * (6 - 0.015) = 1.36 * 5.985 ≈ 8.14 kg/m²

Problema 2: Determinación de Diferencia de Presiones en Sistemas de Fluidos

Descripción del Problema

Se plantea un problema para calcular la diferencia de presiones entre dos puntos (Pc y Pd) en un sistema que contiene agua y aceite, dadas las dimensiones y densidades relativas de los fluidos.

Datos

• Dimensiones de las columnas de fluido: 15 cm, 10 cm, 20 cm, 13 cm.
• Densidad relativa del aceite 1: 0.68
• Densidad relativa del aceite 2: 0.86

Ecuación de Manometría y Cálculo

Aplicando la ecuación de manometría desde Pc hasta Pd, considerando las alturas y densidades de los fluidos (asumiendo densidad del agua = 1000 kg/m³):

Pc - (0.68)(1000)(0.15) + (0.86)(1000)(0.1) + (0.68)(1000)(0.2) - (0.86)(1000)(0.13) + Pd = 0

Simplificando la expresión:

Pc - 102 + 86 + 136 - 111.8 + Pd = 0

Pc + Pd + 8.2 = 0

Resultado

La diferencia de presiones es:

Pc - Pd = 8.2 kg/m²

Problema 3: Estabilidad de Presa de Gravedad con Subpresión

Descripción del Problema

Se debe analizar la estabilidad de una presa de gravedad, considerando su geometría, el peso específico del concreto y del agua, y la presencia de subpresión en la base.

Datos Clave

• Altura (H): 80 pies
• Ancho de la corona: 6 ft
• Ancho de la base (B): 30 ft
• Peso específico (γ) del agua: 62.4 lb/ft³
• Densidad (ρ) del concreto: 150 lb/ft³

Cálculo de Pesos de la Presa

Para el cálculo de los pesos de las secciones de la presa (asumiendo un ancho unitario de 1 ft):

• Triángulo 1: (1/2)(24)(83)(1)(150) = 149,400 lb
• Rectángulo 2: (6)(83)(1)(150) = 74,700 lb

Cálculo de Fuerzas de Presión del Agua

Cálculo de las fuerzas de presión del agua (asumiendo un ancho unitario de 1 ft):

• Presión izquierda (horizontal): (1/2)(4992)(80)(1) = 199,680 lb (hacia la derecha)
• Presión derecha (horizontal): (1/2)(10)(624)(1) = 3,120 lb (hacia la izquierda)

Cálculo de Subpresión

Cálculo de las fuerzas de subpresión en la base:

• Subpresión triangular: (0.5)(30)(4368) = 65,520 lb
• Subpresión rectangular: (30)(624.2) = 18,720 lb

Sumatoria de Fuerzas

• Suma de fuerzas en X (ΣFx): 196,560 lb
• Suma de fuerzas en Y (ΣFy): 139,860 lb (hacia abajo, positivo)

Próximos Pasos

Realizar la sumatoria de momentos para determinar el Factor de Seguridad (FS) requerido contra el volteo y deslizamiento.

Problema 4: Fuerzas Hidrostáticas sobre Compuerta Parabólica

Descripción del Problema

Se busca determinar las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre una compuerta parabólica de 4 ft de ancho y 8 ft de altura, cuya ecuación es y = 2x², con una bisagra en el punto 'A'.

Datos y Geometría

• Ancho de la compuerta: 4 ft
• Altura de la compuerta (H): 8 ft
• Ecuación de la parábola: y = 2x²

Para H = 8 ft, se calcula el valor de x:

8 = 2x² ⇒ x² = 4 ⇒ x = 2 ft

El área bajo la curva se calcula mediante integración:

Área = ∫₀² (2x²) dx = [2x³/3]₀² = (2 * 2³/3) - (2 * 0³/3) = 16/3 ≈ 5.33 ft²

Cálculo de Fuerzas

• Px (Fuerza horizontal): (8)(4)(500)(0.5) = 8,000 lb (hacia la derecha)
• Py (Fuerza vertical): (5.33)(4)(62.4) = 1,331.2 lb (hacia abajo)

Sumatoria de Momentos y Fuerza Resultante

Realizando la sumatoria de momentos en el punto A (ΣMA = 0):

-1331.2(1.5) - (8000)(2.667) + (P)(8) = 0

Resolviendo para P (la fuerza en la bisagra):

P = 2,919 lb

Problema 5: Determinación del Calado de una Embarcación

Descripción del Problema

Una embarcación de 30 m de eslora transporta una carga de 6,000 kN. Se debe determinar la altura de inmersión o calado ('c'). La masa del barco es de 100,000 kg.

Principios Fundamentales

Según el Principio de Arquímedes, el peso total de la embarcación debe ser igual al empuje hidrostático:

Peso total = Empuje

Masa total × gravedad = Densidad del líquido × gravedad × Volumen sumergido

Simplificando, si la gravedad es constante:

Masa total = Densidad del líquido × Volumen sumergido

Datos y Conversiones

• Eslora (largo) de la embarcación: 30 m
• Peso de la carga: 6,000 kN
• Masa del barco: 100,000 kg

Convertimos el peso de la carga a masa (asumiendo g ≈ 10 m/s²):

Peso de la carga = 6,000 kN × (1000 N/1 kN) = 6,000,000 N

Masa de la carga = Peso de la carga / gravedad = 6,000,000 N / 10 m/s² = 600,000 kg

Cálculo de Masa Total y Volumen Sumergido

La masa total de la embarcación es la suma de la masa del barco y la masa de la carga:

Masa total = 100,000 kg + 600,000 kg = 700,000 kg

Asumiendo que el líquido es agua con una densidad de 1000 kg/m³:

700,000 kg = 1000 kg/m³ × Volumen sumergido

Volumen sumergido = 700 m³

El volumen sumergido también se puede expresar como el área de la sección transversal sumergida multiplicada por la eslora:

Volumen sumergido = Área de la base × Largo

700 m³ = Área de la base × 30 m

Área de la base = 700/30 m² = 70/3 m² ≈ 23.33 m²

Determinación del Calado

La sección transversal inferior de la embarcación es un triángulo con una altura de 3 m. El área de esta sección es:

Área_triángulo = 2 × (base/2) × altura = 2 × 4 m × 3 m × 0.5 = 12 m²

El área restante para alcanzar el volumen sumergido total corresponde a una sección rectangular. Si la base del rectángulo es 8 m y la altura es 'h', entonces:

Área total = Área_triángulo + Área_rectángulo

70/3 m² = 12 m² + (8 m × h)

8h = 70/3 - 12 = (70 - 36)/3 = 34/3

h = (34/3) / 8 = 34/24 = 17/12 m

Por lo tanto, la altura total sumergida del barco (calado 'c') es la suma de la altura triangular y la altura rectangular:

Calado (c) = 3 m + 17/12 m = (36 + 17)/12 m = 53/12 m ≈ 4.42 m

Problema 6: Cálculo del Peso de una Compuerta Parabólica Sumergida

Descripción del Problema

Se requiere determinar el peso de una compuerta parabólica de 1.2 m de alto, sumergida en aceite con una densidad de 800 kg/m³.

Datos

• Altura de la compuerta: 1.2 m
• Densidad del aceite: 800 kg/m³

Cálculo de Fuerzas Hidrostáticas

Asumiendo un ancho 'b' para la compuerta y un peso específico del aceite γ_aceite = ρ_aceite * g = 800 kg/m³ * 9.81 m/s² ≈ 7848 N/m³ (o 960 en alguna unidad consistente con el problema original, que parece usar una simplificación o un valor específico para el cálculo de Px).

• Px (Fuerza horizontal): (1/2)(960)(1.2)(b) = 576b N
• Py (Fuerza vertical): (0.6)(1.2)(1/3)(800)(b) = 192b N

Sumatoria de Momentos y Peso de la Compuerta

Realizando la sumatoria de momentos en el punto A (ΣMA = 0), para determinar el peso (W) de la compuerta por unidad de longitud:

(192b)(0.15) + (576b)(0.4) - (W)(0.45) = 0

De esta ecuación, se obtiene que el peso por unidad de longitud (W) es:

W = 576 kg/m lineal

Problema 7: Estabilidad y Esfuerzos en la Base de una Presa

Descripción del Problema

Se deben determinar dos factores de seguridad y la distribución de presión en la base de una presa con dimensiones específicas y considerando la subpresión.

Datos

• Ancho de la corona: 4 m
• Altura total: 18 m
• Ancho de la base: 15 m
• Presencia de subpresión
• Densidad del concreto: 2400 kg/m³
• Densidad del agua: 1000 kg/m³

Cálculo de Pesos de la Presa

Asumiendo un ancho unitario de 1 m para los cálculos de peso:

• W1 (Peso sección 1 - Rectangular): (4)(15)(1)(2400) = 144,000 kg
• W2 (Peso sección 2 - Triangular): (0.5)(8)(12)(2400) = 115,200 kg
• W3 (Peso sección 3 - Rectangular): (15)(3)(2400) = 108,000 kg

Cálculo de Fuerzas de Agua y Subpresión

Asumiendo un ancho unitario de 1 m para las fuerzas del agua:

• Px (Fuerza horizontal del agua): (0.5)(14000)(14)(1) = 98,000 N (hacia la derecha)
• Py (Fuerza vertical del agua): (3)(11)(1)(1000) = 33,000 N (hacia abajo)
• Subpresión total (hacia arriba): (0.5)(15)(14000) = 105,000 N

A partir de estos valores, se procede con los cálculos de estabilidad y factores de seguridad.

Cálculo de Esfuerzos en la Base

Para el cálculo de los esfuerzos normales (σ) en la base de la presa:

• Momento de inercia (I) de la base: I = (1/12) * b * h³ = 281.25 m⁴ (donde b es el ancho unitario y h es el ancho de la base)
• Posición del centroide (x̄): 6.11 m
• Excentricidad (e): e = (Ancho de la base / 2) - x̄ = 7.5 m - 6.11 m = 1.39 m

La fórmula para los esfuerzos normales en la base es: σ = (ΣFy / Área) ± (M * e / I)

Donde:

• ΣFy = Suma de fuerzas verticales (incluyendo pesos y subpresión) = 295,200 kg
• Área de la base = 15 m (asumiendo ancho unitario)
• M = Momento resultante en la base = ΣFy * e

Sustituyendo los valores:

σ = (295200 / 15) ± ((1.39 * 7.5 * 295200) / 281.25)

Resultados de Esfuerzos

• σ1 (Esfuerzo máximo en la base): 30,622.08 kg/m²
• σ2 (Esfuerzo mínimo en la base): 8,737.92 kg/m²