Ejercicios Prácticos de Matemática Financiera: Valoración de Rentas y Capitales

Ejercicios Resueltos de Matemática Financiera

Este documento presenta una serie de ejercicios prácticos de matemática financiera, abordando conceptos clave como el valor actual y futuro de rentas, anualidades y perpetuidades. Cada ejercicio incluye el planteamiento, los parámetros relevantes, la fórmula aplicada y el resultado final.

Ejercicio 1: Valor Actual de una Renta Pospagable

Calcula cuánto habría que pagar por explotar una finca que produce 17.000 € al final de cada año, durante 8 años, si se desea obtener una rentabilidad del 6% anual (Valor actual).

Parámetros:

• Número de periodos (n): 8 años
• Tasa de interés (i): 0,06 (6% anual)
• Anualidad (A): 17.000 € (pospagable)
• Valor actual (V₀): ?

Fórmula del Valor Actual de una Anualidad Ordinaria (Pospagable):

V₀ = A * [1 - (1 + i)⁻ⁿ] / i

Cálculo:

V₀ = 17.000 * [1 - (1 + 0,06)⁻⁸] / 0,06

V₀ = 17.000 * [1 - (1,06)⁻⁸] / 0,06

V₀ = 17.000 * [1 - 0,62741237] / 0,06

V₀ = 17.000 * 0,37258763 / 0,06

V₀ = 17.000 * 6,2097938

Resultado:

El valor actual de la finca es de 105.566,49 €.

Ejercicio 2: Comparación de Opciones de Pago

Se desea comprar unas instalaciones para nuestra nueva empresa. La compañía vendedora nos da dos opciones (pospagable):

Opción a)

Un pago de 20.000 € al contado y 7 pagos anuales por año vencido, de 8.000 €.

Parámetros:

• Número de periodos (n): 7 años
• Anualidad (A): 8.000 €
• Tasa de interés (i): 0,10 (10% anual)
• Valor actual (V₀): ?

Cálculo del Valor Actual de la Anualidad:

V₀_anualidad = 8.000 * [1 - (1 + 0,10)⁻⁷] / 0,10

V₀_anualidad = 8.000 * [1 - (1,10)⁻⁷] / 0,10

V₀_anualidad = 8.000 * [1 - 0,51315812] / 0,10

V₀_anualidad = 8.000 * 0,48684188 / 0,10

V₀_anualidad = 8.000 * 4,8684188

V₀_anualidad = 38.947,35 €

Costo Total de la Opción a):

Costo Total = Pago al contado + V₀_anualidad

Costo Total = 20.000 € + 38.947,35 € = 58.947,35 €

Opción b)

Diez pagos consecutivos por año vencido de 7.000 €.

La valoración se realiza al 10 % anual.

Parámetros:

• Número de periodos (n): 10 años
• Anualidad (A): 7.000 €
• Tasa de interés (i): 0,10 (10% anual)
• Valor actual (V₀): ?

Cálculo del Valor Actual de la Anualidad:

V₀ = 7.000 * [1 - (1 + 0,10)⁻¹⁰] / 0,10

V₀ = 7.000 * [1 - (1,10)⁻¹⁰] / 0,10

V₀ = 7.000 * [1 - 0,38554329] / 0,10

V₀ = 7.000 * 0,61445671 / 0,10

V₀ = 7.000 * 6,1445671

V₀ = 43.011,97 €

Decisión:

Para elegir la opción más conveniente, comparamos los valores actuales de ambas opciones:

• Opción a): 58.947,35 €
• Opción b): 43.011,97 €

Se elegirá la Opción b), ya que representa un menor costo actual para la empresa.

Ejercicio 3: Ahorro para un Máster (Valor Futuro de una Anualidad)

Don Francisco Pérez ha comenzado este año una carrera universitaria. Desea, al finalizarla, realizar un máster, para lo que ha empezado a ahorrar. El máster tiene un precio de 12.300 € y él estima que acabará dentro de 6 años sus estudios. Si el banco donde desea realizar sus aportaciones anuales de igual cuantía cada año vencido le da una rentabilidad media del 6 % anual, ¿qué cantidad anual tendrá que depositar en el banco? (pospagable)

Parámetros:

• Tasa de interés (i): 0,06 (6% anual)
• Valor futuro (Vn): 12.300 €
• Número de periodos (n): 6 años
• Anualidad (A): ?

Fórmula del Valor Futuro de una Anualidad Ordinaria (Pospagable):

Vn = A * [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Despejando A:

A = Vn / {[(1 + i)ⁿ - 1] / i}

Cálculo:

A = 12.300 / {[(1 + 0,06)⁶ - 1] / 0,06}

A = 12.300 / {[(1,06)⁶ - 1] / 0,06}

A = 12.300 / {[1,41851911 - 1] / 0,06}

A = 12.300 / {0,41851911 / 0,06}

A = 12.300 / 6,9753185

Resultado:

Don Francisco tendrá que depositar 1.763,36 € anualmente.

Ejercicio 4: Costo de un Premio para Empleados (Valor Futuro de una Anualidad)

Una empresa se plantea premiar a los 100 trabajadores que alcancen un determinado volumen de ventas con una prima de 300 € al mes durante los próximos 5 años. ¿Cuánto le costará a la empresa este premio si el tipo de interés nominal mensual que se aplica es del 5%? (Valor final) (pospagable)

Parámetros:

• Anualidad mensual total (A): 100 trabajadores * 300 €/trabajador = 30.000 €
• Número de periodos (n): 5 años * 12 meses/año = 60 meses
• Tasa de interés mensual (i₁₂): 0,05 / 12 = 0,004166667
• Valor futuro (Vn): ?

Fórmula del Valor Futuro de una Anualidad Ordinaria (Pospagable):

Vn = A * [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Cálculo:

Vn = 30.000 * [(1 + 0,004166667)⁶⁰ - 1] / 0,004166667

Vn = 30.000 * [(1,004166667)⁶⁰ - 1] / 0,004166667

Vn = 30.000 * [1,308394 - 1] / 0,004166667

Vn = 30.000 * 0,308394 / 0,004166667

Vn = 30.000 * 74,01456

Resultado:

El costo total para la empresa será de 2.220.436,80 €.

Nota: El cálculo original presentaba una fórmula incorrecta para el exponente y un resultado diferente. Se ha corregido la fórmula y recalculado el valor futuro.

Ejercicio 5: Acumulación de Capital con Aportaciones Periódicas y Única

Don Fernando Aparicio acude a una entidad financiera para solicitar un proyecto de inversión que tiene las siguientes características:

• Se realiza una primera imposición de 10.000 €.
• El último día de cada mes ingresará 500 € durante 15 años.
• El tipo de interés que le ofrece la entidad es del 7 % de interés nominal convertible mensualmente.

¿Con cuánto dinero contará después de los 15 años? (pospagable)

Parámetros:

• Anualidad mensual (A): 500 €
• Tasa de interés mensual (i₁₂): 0,07 / 12 = 0,005833333
• Número de periodos (n): 15 años * 12 meses/año = 180 meses
• Capital inicial (C₀): 10.000 €
• Valor futuro (Vn): ?

Cálculo del Valor Futuro de la Anualidad (Vn_anualidad):

Vn_anualidad = A * [(1 + i)ⁿ - 1] / i

Vn_anualidad = 500 * [(1 + 0,005833333)¹⁸⁰ - 1] / 0,005833333

Vn_anualidad = 500 * [(1,005833333)¹⁸⁰ - 1] / 0,005833333

Vn_anualidad = 500 * [2,849847 - 1] / 0,005833333

Vn_anualidad = 500 * 1,849847 / 0,005833333

Vn_anualidad = 500 * 317,1166

Vn_anualidad = 158.558,30 €

Cálculo del Valor Futuro del Capital Inicial (Vn_capital):

Vn_capital = C₀ * (1 + i)ⁿ

Vn_capital = 10.000 * (1 + 0,005833333)¹⁸⁰

Vn_capital = 10.000 * (1,005833333)¹⁸⁰

Vn_capital = 10.000 * 2,849847

Vn_capital = 28.498,47 €

Nota: El cálculo original utilizaba 1.000 € en la fórmula para el capital inicial, pero el resultado correspondía a 10.000 €. Se ha corregido la fórmula para reflejar el capital inicial correcto.

Valor Total Acumulado:

Valor Total = Vn_anualidad + Vn_capital

Valor Total = 158.558,30 € + 28.498,47 € = 187.056,77 €

Ejercicio 6: Valor Actual de una Renta Prepagable

Deseamos comprar un valor negociable que nos producirá una renta de 10 € cada año (el primer cobro hoy) durante 30 años. Si este tipo de valores negociables están dando una rentabilidad del 8 % anual en estos momentos, ¿por cuánto deberíamos comprar este valor? (Valor actual) (prepagable)

Parámetros:

• Tasa de interés (i): 0,08 (8% anual)
• Número de periodos (n): 30 años
• Anualidad (A): 10 €
• Valor actual (V₀): ?

Fórmula del Valor Actual de una Anualidad Anticipada (Prepagable):

V₀ = A * [1 - (1 + i)⁻ⁿ] / i * (1 + i)

Cálculo:

V₀ = 10 * [1 - (1 + 0,08)⁻³⁰] / 0,08 * (1 + 0,08)

V₀ = 10 * [1 - (1,08)⁻³⁰] / 0,08 * 1,08

V₀ = 10 * [1 - 0,09937733] / 0,08 * 1,08

V₀ = 10 * 0,90062267 / 0,08 * 1,08

V₀ = 10 * 11,257783375 * 1,08

V₀ = 10 * 12,158406

Resultado:

Deberíamos comprar este valor por 121,58 €.

Ejercicio 7: Valoración de una Obligación Perpetua

Una obligación perpetua del Estado es aquel valor negociable emitido por el Gobierno que nos da una rentabilidad fija de forma perpetua. Si actualmente el Estado ofrece una rentabilidad total de 5 € cada año, el primer cobro se hará efectivo dentro de un año y estos títulos se están valorando al 6,5 % anual. ¿Cuánto vale esta obligación? (Valor actual) (perpetua pospagable)

Parámetros:

• Anualidad (A): 5 €
• Tasa de interés (i): 0,065 (6,5% anual)
• Valor actual (V₀): ?

Fórmula del Valor Actual de una Perpetuidad Ordinaria (Pospagable):

V₀ = A / i

Cálculo:

V₀ = 5 / 0,065

Resultado:

Esta obligación vale 76,92 €.

Nota: El cálculo original presentaba un resultado diferente. Se ha recalculado el valor actual.

Ejercicio 8: Valoración de un Local para Arrendamiento

Deseamos adquirir un local, para arrendarlo posteriormente. Estimamos que podemos alquilarlo por una renta de 4.000 €, que recibiremos al final de cada año (pagos por años vencidos) durante 15 años. Si pretendemos obtener una rentabilidad del 7% anual, ¿cuánto deberíamos pagar por el local? (Valor actual) (pospagable)

Parámetros:

• Anualidad (A): 4.000 €
• Número de periodos (n): 15 años
• Tasa de interés (i): 0,07 (7% anual)
• Valor actual (V₀): ?

Fórmula del Valor Actual de una Anualidad Ordinaria (Pospagable):

V₀ = A * [1 - (1 + i)⁻ⁿ] / i

Cálculo:

V₀ = 4.000 * [1 - (1 + 0,07)⁻¹⁵] / 0,07

V₀ = 4.000 * [1 - (1,07)⁻¹⁵] / 0,07

V₀ = 4.000 * [1 - 0,36244606] / 0,07

V₀ = 4.000 * 0,63755394 / 0,07

V₀ = 4.000 * 9,1079134

Resultado:

Deberíamos pagar 36.431,65 € por el local.

Ejercicio 9: Plan de Pensiones (Valor Futuro y Renta Perpetua)

Imagina que tienes 30 años y te ofrecen un plan de pensiones, pagando una cuota trimestral de 150 € al principio de cada trimestre. La entidad financiera te ofrece un interés nominal del 8 % convertible trimestralmente. (prepagable)

a) ¿Qué cantidad recibirás a los 65 años?

Parámetros:

• Anualidad trimestral (A): 150 €
• Tasa de interés trimestral (i₄): 0,08 / 4 = 0,02
• Número de periodos (n): (65 - 30 años) * 4 trimestres/año = 35 * 4 = 140 trimestres
• Valor futuro (Vn): ?

Fórmula del Valor Futuro de una Anualidad Anticipada (Prepagable):

Vn = A * [(1 + i)ⁿ - 1] / i * (1 + i)

Cálculo:

Vn = 150 * [(1 + 0,02)¹⁴⁰ - 1] / 0,02 * (1 + 0,02)

Vn = 150 * [(1,02)¹⁴⁰ - 1] / 0,02 * 1,02

Vn = 150 * [15,426901 - 1] / 0,02 * 1,02

Vn = 150 * 14,426901 / 0,02 * 1,02

Vn = 150 * 721,34505 * 1,02

Vn = 108.201,76 * 1,02

Resultado:

A los 65 años, recibirás 110.365,80 €.

Nota: El cálculo original presentaba un resultado diferente. Se ha recalculado el valor futuro.

b) Si decides recibir mensualidades constantes de manera perpetua a partir de la jubilación, ¿qué cantidad recibirás mensualmente? (perpetua)

Parámetros:

• Capital disponible (V₀): 110.365,80 € (resultado de la parte a)
• Tasa de interés mensual efectiva (i₁₂):
• La tasa nominal anual es del 8% convertible trimestralmente, lo que implica una tasa trimestral de 2%.
• Para obtener la tasa mensual efectiva, usamos la equivalencia: (1 + i₁₂)¹² = (1 + i₄)⁴
• (1 + i₁₂)¹² = (1 + 0,02)⁴ = 1,08243216
• 1 + i₁₂ = (1,08243216)^(1/12) = 1,00662271
• i₁₂ = 0,00662271
• Anualidad mensual (A): ?

Fórmula de la Renta de una Perpetuidad Ordinaria (Pospagable):

A = V₀ * i

Cálculo:

A = 110.365,80 * 0,00662271

Resultado:

Recibirás 730,96 € mensualmente de forma perpetua.

Nota: El cálculo original presentaba un resultado diferente debido al capital inicial incorrecto. Se ha recalculado la renta mensual.