Ejercicios de Matemáticas Resueltos: Álgebra, Geometría y Sistemas Numéricos
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Problemas de Proporcionalidad y Movimiento
Problema 1: Ruedas unidas por una correa
Dos ruedas están unidas por una correa de transmisión. La primera tiene un radio de 10 cm y la segunda de 50 cm. Cuando la primera ha dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la segunda?
Respuesta: 60 vueltas
Problema 2: Escala de un plano
En un plano de una ciudad, una calle de 350 metros de longitud mide 2.8 cm. ¿Cuánto mediría en el plano una calle de 200 metros?
Respuesta: x = 1.6 cm
Problema 3: Tiempo de viaje en autobús
Un autobús recorre 70 km en dos horas. ¿Cuánto tardará en realizar un viaje de 345 km?
Respuesta: x = 9.85 horas
Ecuaciones Algebraicas
Resolver las siguientes ecuaciones:
Ecuación 1
x(x − 1) = x − 4
Respuesta: No hay solución real
Ecuación 2
3x2 + 5x − 4 = x2 − 2x
Respuesta: x = 1/2, x = -4
Ecuación 3
3(3x − 2) = (x + 4)(x − 4)
Respuesta: x = 10, x = -1
Simplificación de Expresiones Algebraicas
Simplificar las siguientes expresiones algebraicas:
Expresión 1
25c + 50c + 11c − 14
Respuesta: 86c − 14
Expresión 2
23b + 11a − 3b + c − a
Respuesta: 20b + 10a + c
Expresión 3
42b + 6ba − 7b + 8ab
Respuesta: 35b + 14ab
Cálculo de Raíces Cuadradas
Calcular la raíz cuadrada de los siguientes números:
Número 1
233344.8
Respuesta: 483.05
Número 2
5678.9
Respuesta: 75.3
Número 3
6785.2
Respuesta: 82.3
Logaritmos
Encontrar los siguientes logaritmos:
Logaritmo 1
log9(59049 / 729)
Respuesta: 2
Logaritmo 2
log3(27) + log3(9)
Respuesta: 5
Logaritmo 3
log7(49 × 243)
Respuesta: 2 + 5 log7(3)
Logaritmo 4
log5(125) − log5(25)
Respuesta: 1
Logaritmo 5
log2(64)
Respuesta: 6
Sistemas Numéricos: Conversiones
Conversión 1: Hexadecimal a Decimal
Convertir 4878 (hexadecimal) a decimal.
Respuesta: 18,552 (decimal)
Conversión 2: Decimal a Hexadecimal
Convertir 684 (decimal) a hexadecimal.
Respuesta: 2AC (hexadecimal)
Conversión 3: Octal a Decimal
Convertir 2468 (octal) a decimal.
Nota: El número 2468 no es un número octal válido, ya que los dígitos en base 8 solo pueden ir del 0 al 7. Por favor, revise el número.
Conversión 4: Decimal a Octal
Convertir 2345 (decimal) a octal.
Respuesta: 4451 (octal)
Coordenadas Polares y Rectangulares
Determinación de Coordenadas Rectangulares
Determinar las coordenadas rectangulares a partir de las coordenadas polares:
Punto Polar 1
(2, π)
Respuesta: (-1.73, -1)
Punto Polar 2
(−3, π)
Respuesta: (1.5, 2.59)
Determinación de Coordenadas Polares
Determinar las coordenadas polares a partir de las coordenadas rectangulares:
Punto Rectangular 1
a) (4, 2)
Respuesta: P(√20, 3π/20)
Punto Rectangular 2
b) (-5, 7)
Respuesta: P(√74, 7π/10)
Operaciones Combinadas
Resolver las siguientes operaciones combinadas:
Operación 1
−9[8(15 ÷ 5) + 5(23 + 89 − 15) − 2(5 × 5)]
Respuesta: -4131
Operación 2
[(17 + 4 − 12) × (22 + 80 − 18)]
Respuesta: 756
Operación 3
Respuesta: 36/205
Operación 4
[ 
− ( 
+ 
) + ( 
× 
)]Respuesta: 79/45
Geometría: Área y Volumen de Cuerpos Redondos
Problema 1: Cilindro de 7 cm de diámetro
Calcular el área total y el volumen de un cilindro con 7 cm de diámetro y 14 cm de altura.
Respuesta: Área total = 1154.52 cm², Volumen = 538.72 cm³
Problema 2: Cilindro de 9 cm de diámetro
Calcular el área total y el volumen de un cilindro con 9 cm de diámetro y 18 cm de altura.
Respuesta: Área total = 2417.44 cm², Volumen = 1144.98 cm³
Conversiones de Unidades
Realizar las siguientes conversiones de unidades:
Conversión 1
Convertir 896 decagramos (dag) a centigramos (cg).
Respuesta: 896,000 cg
Conversión 2
Convertir 75 kilómetros (km) a metros (m).
Respuesta: 75,000 m
Conversión 3
Convertir 345 centímetros (cm) a metros (m).
Respuesta: 3.45 m
Álgebra Lineal: Ecuación de la Recta
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos:
Recta 1
(-2, 4) y (5, 3)
Respuesta: y = -x/7 + 26/7
Recta 2
(8, 2) y (-1, 4)
Respuesta: y = -2/9x + 34/9
Recta 3
(2, 6) y (6, 3)
Respuesta: y = -3x/4 + 15/2
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
Sistema 1
x − 2y = 10
2x − 3y = −8
Respuesta: x = -46, y = -28
Sistema 2
5x − 3y = 0
x − y = −16
Respuesta: x = 24, y = 40
Ecuaciones Lineales Simples
Resolver las siguientes ecuaciones:
Ecuación 1
5(x − 2) + 8x = 12x − 5 + x
Respuesta: No tiene solución.
Ecuación 2
4x + 8 = 20
Respuesta: x = 3
Ecuación 3
4(x + 2) = 10
Respuesta: x = 1/2
Potencias y Raíces
Problema 1
¿Qué potencia de 10 es igual a 100,000?
Respuesta: 105
Problema 2
¿Cuál es la raíz cuadrada de 9 elevado a la cuarta potencia?
Respuesta: 81
Notación Científica
Convertir a Notación Científica
Convertir a notación científica las siguientes cantidades:
Cantidad 1
0.896
Respuesta: 8.96 × 10-1
Cantidad 2
234000
Respuesta: 2.34 × 105
Cantidad 3
16,300
Respuesta: 1.63 × 104
Convertir de Notación Científica a Estándar
Convertir de notación científica a notación estándar las siguientes cantidades:
Cantidad 1
0.495 × 107
Respuesta: 4,950,000
Cantidad 2
62.4 × 10−4
Respuesta: 0.00624
Valor Numérico de Expresiones Algebraicas
Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones, dadas las variables: a = 1, b = 2, c = 3, m = 1/2, n = 1/3, p = 1/4.
Expresión 1
3ab
Respuesta: 6
Expresión 2
5 · 2 · b · 3 · c
Respuesta: 180
Expresión 3
b2mn
Respuesta: 2/3
Expresión 4
24mn2p
Respuesta: 1/3
Definiciones de Conceptos Geométricos
28. ¿Qué es una parábola?
En matemáticas, una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.
29. ¿Qué es una circunferencia?
La circunferencia es una curva plana y cerrada tal que todos sus puntos están a igual distancia del centro.
Geometría: Área y Volumen de una Esfera
Problema 1: Esfera de 15.8 cm de radio
30. Calcular el área y el volumen de una esfera con un radio de 15.8 cm.
Respuesta: Área = 3,137.06 cm², Volumen = 16,521.93 cm³