Ejercicios de álgebra lineal: matrices, determinantes y vectores con respuestas corregidas

Enviado por Programa Chuletas y clasificado en Matemáticas

Escrito el 26 de Enero de 2026 en español con un tamaño de 9,2 KB

Ejercicios: Responder V (verdadero) o F (falso) — Matrices y vectores

A. Una matriz no singular tiene D = 0. F Una matriz no singular tiene determinante distinto de 0 (D ≠ 0).
B. El rango de una matriz de dimensión 3×4 puede ser superior a 3. F El rango r ≤ min(número de filas, número de columnas) = 3, por lo que no puede ser mayor que 3.
C. Una matriz transpuesta tiene distinto determinante. F La matriz transpuesta tiene el mismo determinante que la original: det(A^T) = det(A).
D. La inversa de la inversa es la matriz original. V Si A es invertible, (A^{-1})^{-1} = A.

A. Su rango es 3. F Al tener una fila linealmente dependiente de otra, el rango es ≤ 2 (por tanto no es 3).
B. La matriz es inversible. F No es invertible porque sus filas son linealmente dependientes → determinante 0.
C. Al reducirla se obtendrá una fila nula. V Al aplicar reducción por filas (forma escalonada) aparecerá una fila de ceros debido a la dependencia lineal.
D. Su determinante es distinto de 0. F El determinante es 0 por dependencia lineal de filas.

[ 1  0  1
  0  1  0
  1  x  1 ]

A. Es una matriz escalonada con elementos distintos de 1. F No está en forma escalonada por filas en la presentación dada. Además, la expresión "con elementos distintos de 1" no define la condición de escalonado; el escalonado se refiere a la posición de pivotes y ceros anteriores.
B. Siempre se podrá calcular la inversa. F La inversa solo existe si det(A) ≠ 0. En este caso det(A) = 0 para todo x (ver explicación), por lo que no es invertible.
C. El rango es siempre 3. F El determinante es 0 para cualquier x, y las filas 1 y 2 son linealmente independientes mientras que la 3ª es combinación de ellas (3ª = 1ª + x·2ª), por lo que el rango es 2 siempre.
D. Si x = 0 es una matriz no singular. F Si x = 0 la tercera fila coincide con la primera; la matriz sigue siendo singular (determinante 0).

[ 1  1  1
  3  3  3
  5  5  x ]

A. Si x = 5 su rango es 1. V Cuando x = 5 las tres filas son múltiplos de la primera (3ª = 5·1ª, 2ª = 3·1ª), por lo que el rango es 1.
B. Para ningún valor de x la matriz tiene inversa. V La segunda fila es 3 veces la primera, por lo que siempre hay dependencia lineal entre filas y el determinante es 0 para todo x; no es invertible.
C. Si x = 5 su forma reducida es la matriz nula. F La forma reducida por filas tendrá una fila no nula (por ejemplo [1 1 1]) y las demás filas serán cero; no es la matriz nula completa.
D. Si x ≠ 5 su rango es 3. F Aunque x ≠ 5 evita que la 3ª sea múltiplo exacto de la 1ª, la 2ª sigue siendo múltiplo de la 1ª, por lo que como máximo puede obtenerse rango 2; nunca alcanza 3.

[ 1  0  2
  x  0  4
  0  0  4 ]

A. Es una matriz reducida por filas. F No necesariamente está en forma reducida por filas (RREF). Es una matriz con ceros en algunas posiciones, pero para estar en RREF deben cumplirse condiciones sobre pivotes y ceros arriba y abajo de los pivotes.
B. Si x distinto de 0 se podrá calcular la inversa. F El determinante de esta matriz es 0 para todo x (se puede calcular por expansión), por lo que la matriz es singular para cualquier x y no tiene inversa.
C. El rango siempre es 2. V El determinante es 0, por lo que el rango es < 3. Existen al menos dos filas linealmente independientes (por ejemplo la primera y la tercera), de modo que el rango es 2 para todo x.
D. Si x = 0 es una matriz no singular. F Si x = 0 la matriz sigue siendo singular (determinante 0).

A. Los vectores son perpendiculares entre sí. F v = -2 u, por tanto son colineales (paralelos) y no perpendiculares.
B. El producto punto entre los vectores es positivo. F u·v = 1·(-2) + (-1)·2 + 0·0 = -4, que es negativo.
C. No se puede calcular el ángulo entre ellos. F Sí se puede calcular: como v = -2u, el ángulo entre u y v es 180° (π rad), es decir están en sentidos opuestos.
D. Los vectores tienen misma dirección y sentido. F Tienen la misma dirección pero sentido contrario (v = -2u), por lo que no comparten el mismo sentido.

A. Los vectores son paralelos entre sí. F No existe un escalar k tal que v = k·u (por ejemplo, con k = 2 tendríamos [6,4,-8] ≠ v), luego no son paralelos.
B. El producto punto es negativo. F u·v = 3·6 + 2·(-1) + (-4)·4 = 18 - 2 - 16 = 0.
C. El ángulo entre ellos es de 90°. V Como su producto escalar es 0, son perpendiculares y el ángulo es 90°.
D. Los vectores tienen la misma dirección y sentido opuesto. F Son perpendiculares, no colineales, por lo que no tienen la misma dirección ni sentido opuesto.

A. u · v = (-v · u). F El producto escalar es conmutativo: u·v = v·u.
B. k(u · v) = (ku) · v. V Verdadero: (ku)·v = k(u·v) por bilinealidad del producto escalar.
C. u + (-u) = 2|u|. F u + (-u) = 0 (vector nulo). La expresión 2|u| no tiene sentido como igualdad de vectores.
D. ||ku|| = k||u||. F En realidad ||ku|| = |k|·||u|| (el valor absoluto de k).

A. u·u = 0 si u es diferente de 0. F u·u = 0 si y solo si u = 0. Para u ≠ 0, u·u = ||u||^2 > 0.
B. k(u·v) = (ku)·(kv). F (ku)·(kv) = k^2(u·v). Por tanto k(u·v) ≠ (ku)·(kv) salvo que k = 0 o u·v = 0.
C. u + 0 = 0. F El vector 0 es el neutro aditivo: u + 0 = u.
D. (1/||u||)·u = 1. F (1/||u||)·u es un vector unitario; su norma es 1, es decir ||(1/||u||)u|| = 1, pero la igualdad con el escalar 1 no tiene sentido (un vector ≠ escalar).

He corregido errores tipográficos (por ejemplo signos y comas) y corregido vectores con entradas mal escritas (ej.: v = (-2, 2, 0) y u = (3, 2, -4)).
Se han aclarado las justificaciones básicas: condiciones de singularidad (determinante), relación entre filas linealmente dependientes y rango, propiedades del producto escalar y normas.
Si deseas, puedo añadir los desarrollos detallados de determinantes y reducciones por filas para cada matriz paso a paso.

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