Ecuaciones de Maxwell: Pilares de la Teoría Electromagnética

Ecuaciones de Maxwell: Fundamentos del Electromagnetismo

Este documento aborda la descripción del campo electromagnético, recopilando los estudios realizados hasta el momento. El campo electromagnético se compone de dos partes principales: el campo electrostático (E) y el campo magnético (B).

Campo Eléctrico y Magnético: Conceptos Fundamentales

Las cargas eléctricas generan un campo eléctrico conservativo. En los campos eléctricos, es crucial considerar el medio, caracterizado por su permitividad dieléctrica (ε). Si el medio es el vacío, la permitividad se denota como ε₀. El campo de desplazamiento eléctrico (D) se define como D = εE, y la fuerza electrostática (F) es F = qE.

En un campo de inducción magnética (B), una carga "q" que se mueve a una velocidad "v" experimenta una fuerza magnética (F) dada por la fuerza de Lorentz: F = q(v × B). El campo de inducción magnética (B) está relacionado con la excitación magnética (H) de la siguiente manera: B = μH, donde μ es la permeabilidad magnética. La fuerza total sobre una carga en un campo electromagnético es la suma de las fuerzas eléctrica y magnética: F = qE + q(v × B).

Ley de Gauss para el Campo Eléctrico

La Ley de Gauss para el campo eléctrico establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga eléctrica (q) encerrada en un determinado volumen. El flujo nos indica el número de líneas de campo que atraviesan una superficie; a mayor número de líneas, mayor intensidad del campo.

Su expresión integral es: ∫ E ⋅ dS = q / ε.

Esta ley se puede expresar de dos formas:

• Expresión Diferencial:

  • Para el vacío: ∇ ⋅ E = ρ / ε₀
  • Casos generales: ∇ ⋅ D = ρ

• Expresión Integral:

  • Para el vacío: ∮ E ⋅ dA = Q_enc / ε₀
  • Generalmente: ∮ D ⋅ dA = Q_enc

Ley de Gauss para el Campo Magnético

La Ley de Gauss para el campo magnético establece que el campo magnético es solenoidal, lo que significa que su divergencia es cero. Por lo tanto, el flujo magnético que atraviesa cualquier superficie cerrada es siempre cero. Esto implica que no existen monopolos magnéticos.

Su expresión diferencial es: ∇ ⋅ B = 0.

Esta ley se puede aplicar indistintamente para el campo de inducción magnética (B) o el campo de excitación magnética (H):

• Inducción Magnética: ∮ B ⋅ dS = 0
• Excitación Magnética: ∮ H ⋅ dS = 0

Ley de Faraday-Lenz

La Ley de Faraday-Lenz describe la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético, específicamente cómo una variación en el flujo magnético induce una fuerza electromotriz (f.e.m.). La f.e.m. inducida es igual a la variación negativa del flujo magnético a través de una superficie.

Su expresión integral es: f.e.m. = - dΦ_m / dt = - d/dt ∫ B ⋅ dS.

La variación del campo magnético produce un cambio en el campo eléctrico de tal manera que tiende a oponerse a la causa que lo produce (Ley de Lenz).

Su expresión diferencial es: ∇ × E + ∂B/∂t = 0.

Un campo magnético que depende del tiempo indica la existencia de un campo eléctrico inducido. La circulación de este campo eléctrico a través de una línea cerrada es igual a la variación negativa del flujo magnético de la superficie que encierra dicha línea.

Ley de Ampère-Maxwell

La Ley de Ampère, en su forma original, establece que la circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada 'c' es igual a la corriente eléctrica que atraviesa la superficie encerrada por dicha curva, multiplicada por la permeabilidad magnética del medio.

Su expresión integral para campos estacionarios es: ∮ B ⋅ dr = μ ∫ J ⋅ dS.

Para campos no estacionarios, Maxwell añadió un término, conocido como corriente de desplazamiento, para asegurar la conservación de la carga. La Ley de Ampère-Maxwell es:

∮ B ⋅ dr = μ ∫ J ⋅ dS + με ∂/∂t ∫ E ⋅ dS.

Esta ley confirma que un campo eléctrico que varía con el tiempo produce un campo magnético y es consecuente con el principio de conservación de la carga.

Su expresión diferencial es: ∇ × H = J + ∂D/∂t.