Ecuaciones Diferenciales Homogéneas: Definición, Resolución y Propiedades

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Se dice que una función f(x, y) es homogénea si, al multiplicar las variables x e y por un factor t, es posible describir a la función original por la variable t elevada a la potencia n. De acuerdo al exponente que tenga la variable t (es decir, el exponente n), se determina que es una función de grado n.

Entonces, una función f(x, y, ..., w, ...) = 0 es homogénea de grado n si, para todo valor positivo t, se verifica dicha condición. Partiendo de la forma:

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

Esta es homogénea si y solo si P y Q son funciones homogéneas del mismo grado. Si dividimos toda la expresión por Q(x, y), obtenemos:

[P(x, y) / Q(x, y)] dx + [Q(x, y) / Q(x, y)] dy = 0

Simplificación y Cambio de Variable

Al simplificar, la expresión queda como: [P(x, y) / Q(x, y)] dx + dy = 0. Por las propiedades de la ecuación diferencial homogénea, esto se puede expresar como:

φ(y/x) dx + dy = 0

Donde definimos la sustitución (y/x) = u. Despejando y, nos queda que y = u · x. Al calcular el diferencial de y, obtenemos: dy = u dx + x du. Si reemplazamos estos términos en la ecuación original, resulta:

φ(u) dx + u dx + x du = 0

En esta ecuación tenemos tres términos, de los cuales dos contienen el diferencial dx, por lo que podemos agruparlos:

[φ(u) + u] dx + x du = 0

Esta expresión representa ahora una ecuación diferencial de variables separables. Por lo tanto, debemos separar la variable u (que acompaña al dx) y la variable x para colocarlas con sus respectivos diferenciales. Multiplicamos esta expresión por el factor 1 / [x(φ(u) + u)]:

{[φ(u) + u] dx + x du} · {1 / [x(φ(u) + u)]} = 0

Entonces:

[(φ(u) + u) dx] / [x(φ(u) + u)] + [x du] / [x(φ(u) + u)] = 0

Al simplificar los términos, nos queda:

dx / x + du / (φ(u) + u) = 0

Integración y Solución General

Procedemos a integrar ambos miembros:

∫ dx / x + ∫ du / (φ(u) + u) = 0

Obtenemos entonces: ln x + P(u) = ln c. Donde P(u) es un polinomio resultante de la integración respecto a u, ya que al integrar una función de u, siempre obtendremos una expresión en términos de dicha variable. Despejamos ln c:

ln x – ln c = -P(u)

Aplicando las propiedades de los logaritmos: ln(x/c) = -P(u). Por definición de logaritmo natural, esto equivale a: x/c = e^-P(u). Finalmente, reemplazando u = y/x, obtenemos la solución general:

x = c · e^-P(y/x)

Propiedades Fundamentales

1. Cociente de funciones: Dadas dos funciones homogéneas F(x, y) y G(x, y) del mismo grado, se dice que el cociente de ambas da como resultado una función homogénea de grado 0.
   • F(xt, yt) = tⁿ F(x, y)
   • f(x, y) / G(x, y) = f(xt, yt) / G(xt, yt) = [tⁿ F(x, y)] / [tⁿ G(x, y)] = t⁰ · [f(x, y) / g(x, y)]
2. Representación de grado 0: Sea P(x, y) una función homogénea de grado 0, entonces se puede expresar como F(x, y) = φ(y/x) = φ(u), donde u = y/x. Si tomamos t = 1/x, entonces:
   • (1/x)⁰ · f(x · 1/x, y · 1/x) = f(1, y/x) = φ(y/x)