Ecuación Fundamental de la Conducción de Calor: Principios y Aplicaciones

II.2. Ecuación fundamental de la transmisión de calor por conducción

La conducción es la forma de transferencia de calor en la que se realiza un intercambio de energía desde la región de mayor temperatura a la de menor temperatura, ya sea por el movimiento cinético de sus partículas, por el impacto directo de sus moléculas (como en los fluidos en reposo) o por el arrastre de electrones (como en los metales).

La ley básica de la conducción del calor, basada en observaciones experimentales, proviene de Biot, pero se conoce universalmente como la ecuación de Fourier, debido a su aplicación en la teoría analítica del calor. Esta ley establece que la tasa de transferencia de calor por conducción en una dirección dada es proporcional al área normal a la dirección del flujo de calor y al gradiente de temperatura en esa dirección.

Ley de Fourier para el flujo térmico

Para el flujo térmico en la dirección x, la ley de Fourier viene dada por:

Donde Qx es el calor que atraviesa la superficie A en la dirección positiva de las x, y qx es el flujo de calor por unidad de superficie transversal. La constante k representa la conductividad térmica del material.

Balance energético en un elemento de volumen

Considerando un flujo unidireccional según x, la distribución de temperatura en un medio se calcula mediante la solución de la ecuación diferencial de la conducción del calor bajo condiciones de frontera apropiadas. Para su determinación, analizamos un elemento de volumen infinitesimal de dimensiones Δx, Δy, Δz, estableciendo el siguiente balance:

(Energía que atraviesa por conducción el elemento) + (Energía generada en el elemento) = (Variación de la energía interna del elemento)

La energía Qx que entra al elemento de volumen (Fig. II.1) es Qx = qx Δy Δz, y la saliente es Qx + (∂Qx/∂x) Δx. El balance de energía en la dirección x es:

Aplicando el mismo principio en las direcciones y y z:

La energía almacenada por conducción en el elemento de volumen es:

La energía generada o disipada se expresa como E Δx Δy Δz. Para sólidos y líquidos, donde los calores específicos a presión y volumen constante son iguales (cp = cv), la variación δU de la energía interna en el tiempo dt es:

Donde ρ y cp se consideran constantes. El balance energético total resulta en la ecuación diferencial de la conducción de calor:

Esta es la ecuación diferencial de la transmisión de calor por conducción en régimen transitorio con generación de energía, donde α es la difusividad térmica.

Análisis en coordenadas cilíndricas

Para estudiar la conducción de calor en un cilindro, se utilizan coordenadas cilíndricas, transformando la ecuación anterior en:

En estos cálculos, es fundamental considerar las condiciones de frontera específicas de cada caso de estudio.