Dominios, Derivadas e Integrales de Funciones

Dominio de una Función

Punto de Acumulación

Un punto x = a es un punto de acumulación del dominio de una función si todo entorno de centro a contiene elementos del dominio de la función, distintos de a. No es necesario que a pertenezca al dominio de la función.

Punto Aislado

Un punto x = a es un punto aislado del dominio de una función si existe algún entorno de centro a en el cual el único punto del dominio de la función es a.

Continuidad de una Función

Continuidad en un Punto de Acumulación

Si f es una función, a pertenece al dominio de f y a es un punto de acumulación del dominio de f: f es continua en x = a si: . Una función no es continua en un punto de acumulación de su dominio si no está definida en el punto, no existe el límite de la función en el punto, o existe el límite y está definida la función, pero no son iguales el límite y el valor funcional.

Continuidad en un Punto Aislado

Si f es una función, a pertenece al dominio de f y a es un punto aislado del dominio de f, entonces f es continua en x = a.

Tasa de Variación Media

Sea f una función y [a, b] un intervalo incluido en el dominio de la función f. Llamamos tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente: . La tasa de variación media coincide con la pendiente de la recta secante en la gráfica, que es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta (orientada hacia arriba) con el eje de las x (orientado hacia la derecha).

Derivada de una Función

Sea f una función, a un punto del dominio de f y punto de acumulación del dominio de f. Se llama derivada de f en x = a al resultado de:

Relación entre Continuidad y Derivabilidad

Si una función f es derivable en un punto x = a, también es continua en ese punto. Hipótesis: f derivable en x = a. Tesis: f continua en x = a, esto significa que: . La proposición recíproca del teorema precedente es falsa. Existen funciones que son continuas en un punto x = a y no son derivables en ese mismo punto.

Función Derivada

Sea f una función. Llamamos función derivada de f, y anotamos f'(x), a la función definida por la correspondencia: , donde f'(x) denota la derivada de f en cada punto x, donde exista f'(x).

Aplicaciones de la Derivada

Teorema: Condición suficiente de crecimiento local en un punto. Si una función f es derivable en un punto x = a y f'(a) > 0, entonces f es creciente en x = a. Si f'(a) < 0, entonces f es decreciente en x = a.

Integral Definida

Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b], llamamos integral definida de f en [a, b] al número real dado por: , donde F es una primitiva de f.