Dominio, Rango, Transformaciones y Derivadas de Funciones
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Dominio y Rango de Funciones Comunes
A continuación, se presenta una tabla resumen para determinar el dominio y el rango de las funciones más habituales en matemáticas.
| Tipo de Función | ¿Qué revisar para el dominio? | ¿Qué revisar para el rango? |
|---|---|---|
| Lineal | No hay restricciones. El dominio es todo el conjunto de los números reales (ℝ). | El rango es todo el conjunto de los números reales (ℝ). |
| Cuadrática | No hay restricciones. El dominio es todo el conjunto de los números reales (ℝ). | Depende de la ordenada del vértice (yᵥ). Será [yᵥ, ∞) si la parábola abre hacia arriba, o (-∞, yᵥ] si abre hacia abajo. |
| Valor absoluto | No hay restricciones. El dominio es todo el conjunto de los números reales (ℝ). | Desde la ordenada del vértice (mínimo) hacia el infinito: [yᵥ, ∞). |
| Racional (Fracción) | El denominador debe ser distinto de cero (denominador ≠ 0). | Se determina estudiando las asíntotas horizontales y los valores que la función no puede alcanzar. |
| Radical (Raíz par) | El radicando (la expresión dentro de la raíz) debe ser mayor o igual a cero (radicando ≥ 0). | El rango incluye el cero y todos los números reales positivos: [0, ∞). |
| Exponencial | No hay restricciones. El dominio es todo el conjunto de los números reales (ℝ). | El rango incluye todos los números reales positivos: (0, ∞). |
| Logarítmica | El argumento (la expresión dentro del logaritmo) debe ser estrictamente mayor que cero (argumento > 0). | El rango es todo el conjunto de los números reales (ℝ). |
| Constante | No hay restricciones. El dominio es todo el conjunto de los números reales (ℝ). | Un único valor, que es la propia constante 'c'. Rango = {c}. |
Propiedades de Funciones Trigonométricas
| Función | Dominio | Rango | Período |
|---|---|---|---|
| sin(x) | ℝ | [−1, 1] | 2π |
| cos(x) | ℝ | [−1, 1] | 2π |
| tan(x) | ℝ excepto x = π/2 + kπ, con k entero | ℝ | π |
| cot(x) | ℝ excepto x = kπ, con k entero | ℝ | π |
| sec(x) | ℝ excepto x = π/2 + kπ, con k entero | (−∞, −1] ∪ [1, ∞) | 2π |
| csc(x) | ℝ excepto x = kπ, con k entero | (−∞, −1] ∪ [1, ∞) | 2π |
Transformaciones Gráficas de Funciones
Las transformaciones permiten modificar la gráfica de una función base para obtener nuevas funciones relacionadas.
Transformaciones Horizontales
| Tipo | Forma matemática | Efecto en la gráfica | Descripción del Movimiento |
|---|---|---|---|
| Desplazamiento a la derecha | f(x − a) | Mueve la gráfica horizontalmente | Desplaza a unidades a la derecha. |
| Desplazamiento a la izquierda | f(x + a) | Mueve la gráfica horizontalmente | Desplaza a unidades a la izquierda. |
| Compresión horizontal | f(bx), b > 1 | Comprime la gráfica horizontalmente | La gráfica se comprime horizontalmente hacia el eje Y. |
| Ensanchamiento horizontal | f(bx), 0 < b < 1 | Ensancha la gráfica horizontalmente | La gráfica se expande o ensancha horizontalmente desde el eje Y. |
| Reflexión respecto al eje Y | f(−x) | Refleja la gráfica a través del eje Y | Cada punto (x, y) de la gráfica original se transforma en (−x, y). |
Conceptos Fundamentales sobre Derivadas
La derivada es una herramienta central del cálculo que mide la tasa de cambio instantánea de una función.
| Concepto | Definición | Fórmula / Método | Explicación breve |
|---|---|---|---|
| Derivada explícita | Derivada de una función donde y está despejada en términos de x, de la forma y = f(x). | dy/dx = f'(x) | Se aplican directamente las reglas de derivación estándar. |
| Derivada implícita | Se utiliza cuando y no está despejada, y la función está definida por una ecuación (ej. x² + y² = 1). | Derivar ambos lados de la ecuación respecto a x, usando la regla de la cadena para los términos con y (resultando en un factor dy/dx). | Permite encontrar la pendiente de la tangente en curvas que no son funciones explícitas. |
| Derivada hacia adelante (numérica) | Aproximación numérica de la derivada en un punto x usando un punto posterior x+h. | f'(x) ≈ [f(x+h) − f(x)] / h | Método computacional simple, aunque menos preciso que el método centrado. |
| Derivada centrada (numérica) | Aproximación numérica que utiliza puntos simétricos alrededor de x (x-h y x+h). | f'(x) ≈ [f(x+h) − f(x−h)] / (2h) | Ofrece una mayor precisión para el mismo tamaño de paso h. |
| Monotonía creciente | Intervalo donde la función aumenta su valor (la gráfica 'sube'). | f'(x) > 0 | Una derivada positiva indica que la función es creciente en ese intervalo. |
| Monotonía decreciente | Intervalo donde la función disminuye su valor (la gráfica 'baja'). | f'(x) < 0 | Una derivada negativa indica que la función es decreciente en ese intervalo. |
| Puntos críticos | Puntos del dominio donde la derivada es cero o no existe. | f'(x) = 0 o f'(x) no existe | Son los candidatos a ser máximos, mínimos locales o puntos de inflexión. |
| Tasa de cambio | Representa la velocidad instantánea de cambio de una variable con respecto a otra. | dy/dx | Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. |