Dominio de los Números Racionales: Conceptos, Clasificación y Operaciones

Definición de Números Racionales

Los números racionales son todos aquellos números x que pueden expresarse como una fracción, en la cual p es un número entero que se denomina numerador y q es un entero distinto de cero que se denomina denominador.

Son números racionales las fracciones y los decimales finitos. También pertenecen a los números racionales los números 8, -5, 56 y 0, cuyo denominador es el 1 (el cual no se escribe). Por lo tanto, el conjunto Q de los racionales tiene como subconjuntos a los enteros (Z), a los cardinales (N₀) y a los naturales (N).

Números Irracionales y Reales

Los irracionales, en cambio, son aquellos números que no pueden ser escritos en forma fraccionaria; por ejemplo: los números decimales infinitos no periódicos, raíces no exactas y algunas constantes (0,5423178356493548712...; ; ).

La unión de los racionales (Q) y los irracionales (Q*) da como resultado un nuevo conjunto denominado: Números Reales (R).

Clasificación de los Racionales

Los números racionales pueden representarse como fracciones comunes o como números decimales.

Fracciones Comunes

• Propias: Son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.

• Impropias: Son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador.

• Números Mixtos: Son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

Decimales

• Finitos

• Infinitos Periódicos

• Infinitos Semiperiódicos

Los decimales finitos son aquellos cuya parte decimal posee un número determinado de dígitos (ejemplo: 1,875). Los decimales infinitos poseen una cantidad ilimitada de dígitos después de la coma. A su vez, pueden ser periódicos o semiperiódicos.

Operatoria Básica con Fracciones

ADICIÓN:

MULTIPLICACIÓN:

DIVISIÓN:

Amplificación y Simplificación

Amplificación: Es multiplicar por un mismo número el numerador y el denominador de una fracción, de modo que la fracción resultante posee un numerador y denominador distinto en comparación a la fracción original, pero el valor de ambas fracciones es el mismo.

Simplificación: Es dividir por un mismo número el numerador y el denominador de una fracción, de modo que la fracción resultante posee un numerador y denominador distinto en comparación a la fracción original, pero el valor de ambas fracciones es el mismo. Para simplificar, hay que tener muy presentes los criterios de divisibilidad.

Criterios de Divisibilidad

Un número es divisible:

• Por 2: Cuando su último dígito es 0 o par.
• Por 3: Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo: 324 es divisible por 3 ya que 3 + 2 + 4 = 9, y el 9 es divisible por 3.
• Por 4: Cuando los dos últimos dígitos del número son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplo: 3516; 4300.
• Por 5: Cuando el último dígito del número es 0 o 5.

Transformaciones entre Fracciones y Decimales

De Fracción a Decimal

Es la más sencilla de todas. Simplemente debe dividirse el numerador de la fracción por su denominador.

De Decimal a Fracción

Decimales Finitos

• Numerador: Debe tomarse el número completo sin la coma.
• Denominador: El número 1 seguido de tantos ceros como decimales posea el número.

Decimales Periódicos

• Numerador: Debe tomarse como número entero, ignorando la coma, restándole la parte no periódica.
• Denominador: Corresponde a tantos 9 como cifras posea el periodo.

Decimales Semiperiódicos

• Numerador: Debe tomarse como número entero, ignorando la coma, restándole la parte no periódica.
• Denominador: Tantos 9 como cifras del periodo, seguido de tantos ceros como cifras del anteperiodo.

Debe tomarse la parte decimal y restarle la parte finita del número y luego dividir el resultado por tantos 9 como dígitos posea el periodo, seguido de tantos ceros como dígitos posea la parte finita.

90, porque el periodo tiene una sola cifra y el anteperiodo también tiene una sola cifra.

Fracciones Equivalentes

Dos fracciones son equivalentes si:

Reglas de Aproximación

Para aproximar números decimales, debemos tener en cuenta:

• Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior.
• Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5, se deja el dígito anterior igual.

Ejemplos de Aproximación

Aproximar el número π (Pi) a la décima, a la centésima y a la milésima:

π = 3,141592654...

• Aproximación a la décima = 3,1
• Aproximación a la centésima = 3,14
• Aproximar a la milésima = 3,142