Dominando Métodos de Integración y Ecuaciones Diferenciales

Cálculo Integral: Métodos Fundamentales

Método de Sustitución

Este método se aplica generalmente cuando la función integrando es el producto de una composición de dos funciones y la derivada de la función interna. Es decir, si tenemos una integral de la forma:

∫ f(x) dx donde f(x) = (g ο h)(x) · h'(x)

Realizamos la siguiente sustitución:

• Sea z = h(x)
• Entonces, la diferencial de z es dz = h'(x) dx

La integral se transforma en:

∫ (g ο h)(x) · h'(x) dx = ∫ g(h(x)) · h'(x) dx = ∫ g(z) dz

Para comprobar la validez de una integración:

Si ∫ f(x) dx = F(x) + C, entonces la derivada de la solución debe ser igual a la función original: D[F(x) + C] = f(x).

Cálculo Vectorial y Cinemática

Movimiento de Partículas

Si una partícula se mueve según la función vectorial r: D ⊂ R → R3, donde t ↦ r(t) = (x(t), y(t), z(t)), se definen los siguientes conceptos:

• El vector velocidad se define como la primera derivada de la posición respecto al tiempo: v(t) = r'(t).
• El vector aceleración se define como la segunda derivada de la posición respecto al tiempo: a(t) = r''(t).
• La rapidez (o magnitud de la velocidad) se define como la norma del vector velocidad: ||v(t)||.

Demostración de la Derivada del Producto Vectorial

Consideremos el producto vectorial de dos funciones vectoriales u(t) y v(t), y sea r(t) = u(t) × v(t).

Para encontrar la derivada r'(t), utilizamos la definición de derivada:

r'(t) = limh→0 (r(t+h) - r(t)) / h

Sustituyendo r(t):

r(t+h) - r(t) = u(t+h) × v(t+h) - u(t) × v(t)

Para manipular la expresión, sumamos y restamos un término intermedio:

r(t+h) - r(t) = u(t+h) × v(t+h) - u(t) × v(t) + u(t+h) × v(t) - u(t+h) × v(t)

Agrupando términos:

r(t+h) - r(t) = [u(t+h) × v(t+h) - u(t+h) × v(t)] + [u(t+h) × v(t) - u(t) × v(t)]

Factorizando el producto vectorial:

r(t+h) - r(t) = u(t+h) × [v(t+h) - v(t)] + [u(t+h) - u(t)] × v(t)

Dividiendo por h:

(r(t+h) - r(t)) / h = u(t+h) × [(v(t+h) - v(t)) / h] + [(u(t+h) - u(t)) / h] × v(t)

Aplicando el límite cuando h → 0:

limh→0 (r(t+h) - r(t)) / h = limh→0 { u(t+h) × [(v(t+h) - v(t)) / h] + [(u(t+h) - u(t)) / h] × v(t) }

Utilizando las propiedades de los límites y la continuidad de las funciones vectoriales:

r'(t) = limh→0 u(t+h) × limh→0 [(v(t+h) - v(t)) / h] + limh→0 [(u(t+h) - u(t)) / h] × limh→0 v(t)

Finalmente, obtenemos la regla del producto para el producto vectorial:

r'(t) = u(t) × v'(t) + u'(t) × v(t)

Ecuaciones Diferenciales: Conceptos y Métodos

Problema de Valor Inicial (PVI)

Un problema de valor inicial consiste en hallar una solución particular de una ecuación diferencial que satisface una condición específica de la forma y(x0) = y0.

Definición y Clasificación de Ecuaciones Diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación que establece una relación entre la variable independiente (x), la función buscada (y = f(x)) y sus derivadas (y', y'', ..., y(n)) o sus diferenciales (dx, dy).

Su forma general implícita es: F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0.

Clasificación de Ecuaciones Diferenciales

• Orden: Es el orden de la derivada de mayor grado que interviene en la ecuación.
• Tipo: Pueden ser ordinarias (si la función depende de una sola variable independiente) o en derivadas parciales (si la función depende de dos o más variables independientes).
• Grado: Es el exponente de la máxima potencia de la derivada de mayor orden, una vez que la ecuación ha sido racionalizada respecto a las derivadas.
• Linealidad: Pueden ser lineales o no lineales. Una ecuación diferencial es lineal cuando se puede expresar de la siguiente forma:

  an(x) y(n) + an-1(x) y(n-1) + ... + a2(x) y'' + a1(x) y' + a0(x) y = g(x)

  Esta ecuación diferencial lineal posee características importantes:

  • Los coeficientes ai(x) de cada término solo dependen de x (o son constantes).
  • La variable dependiente y (que representa la incógnita) y todas sus derivadas son de primer grado (exponente 1).

Solución de una Ecuación Diferencial

Una función f definida en un intervalo I es una solución de la ecuación diferencial si, al sustituirla en la ecuación, la transforma en una identidad. Es decir, satisface:

F(x, f(x), f'(x), f''(x), ..., f(n)(x)) = 0

Tipos Específicos de Ecuaciones Diferenciales

Ecuación Diferencial Homogénea

Una función f(x,y) es homogénea de grado n si f(λx, λy) = λn f(x,y) para algún escalar λ.

Una ecuación diferencial de la forma y' = dy/dx = f(x,y) es homogénea si f(x,y) es una función homogénea de grado cero. Esto implica que f(λx, λy) = λ0 f(x,y) = f(x,y).

Consideremos la forma diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0. Si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado, entonces la ecuación es homogénea. Podemos reescribirla como:

dy/dx = -M(x,y) / N(x,y)

Si M(x,y) y N(x,y) son homogéneas de grado n, entonces:

f(λx, λy) = -M(λx, λy) / N(λx, λy) = -( λn M(x,y)) / ( λn N(x,y)) = -M(x,y) / N(x,y) = f(x,y)

Esto confirma que f(x,y) es homogénea de grado 0. Por lo tanto, podemos expresar f(x,y) como una función de y/x:

f(x,y) = f(1, y/x)

Para resolver estas ecuaciones, se utiliza la sustitución y = ux, de donde dy/dx = u'x + u. Sustituyendo en la ecuación:

u'x + u = f(1, u)

u'x = f(1, u) - u

(du/dx) · x = f(1, u) - u

Separando variables, obtenemos una ecuación de variables separables:

∫ du / (f(1, u) - u) = ∫ dx / x

Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

Una ecuación diferencial de la forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es de variables separables si M(x,y) puede expresarse como una función que depende solo de x (o un producto de funciones de x y y que se puede separar) y N(x,y) puede expresarse como una función que depende solo de y (o un producto de funciones de x y y que se puede separar). Es decir, se puede reescribir como:

A(x) dx + B(y) dy = 0

La solución se obtiene integrando ambos lados:

∫ A(x) dx + ∫ B(y) dy = C

Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli es una ecuación diferencial no lineal de la forma:

y' + P(x)y = Q(x)yn

donde n es un número real (n ≠ 0, 1).

Para resolverla, se realiza la siguiente transformación:

1. Dividir toda la ecuación por yn:

   y'/yn + P(x)y/yn = Q(x)

   y'y-n + P(x)y1-n = Q(x)

2. Realizar la sustitución: u = y1-n
3. Calcular la derivada de u respecto a x:

   u' = (1-n)y(1-n)-1y' = (1-n)y-ny'

   De donde se puede despejar y'y-n = u' / (1-n).

4. Sustituir u y u' en la ecuación transformada:

   u' / (1-n) + P(x)u = Q(x)

5. Multiplicar por (1-n) para obtener una ecuación diferencial lineal de primer orden en u:

   u' + (1-n)P(x)u = (1-n)Q(x)

Esta ecuación lineal se puede resolver utilizando un factor integrante.