Dominando Matrices y Determinantes: Conceptos Esenciales de Álgebra Lineal

Operaciones Elementales por Fila

Sea A ∈ K^m×n, una operación elemental por fila en la matriz A es cualquiera de los tres tipos de operaciones siguientes:

• Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
• Intercambiar dos filas de la matriz A (permutación de filas).
• Sumar a una fila de A otra fila multiplicada por un escalar.

Matriz Escalonada por Filas

Una matriz A ∈ K^m×n es una matriz escalonada por filas si cumple con:

• El primer elemento no nulo de cada fila no nula de A (llamado pivote) es 1.
• El pivote de cada fila no nula está a la derecha del pivote de la fila superior.
• Todas las filas compuestas enteramente de ceros (si las hay) están en la parte inferior de la matriz.
• Todos los elementos en la columna debajo de un pivote son cero.

Matriz Escalonada Reducida por Filas

Una matriz A ∈ K^m×n es una matriz escalonada reducida por filas si, además de ser una matriz escalonada por filas, cumple con:

• Cada columna de A que contiene un pivote tiene sus otros elementos nulos (es decir, a_ij = 0 para i < j en la columna del pivote).

Matriz Transpuesta

Sea A ∈ K^m×n. Llamaremos matriz transpuesta de A, y la denotaremos A^T ∈ K^n×m, a la matriz que se obtiene intercambiando filas por columnas: A^T = (a_ji) ∈ K^n×m.

Propiedades de la Matriz Transpuesta

• Para todo A, B ∈ K^m×n: (A+B)^T = A^T + B^T
• Para todo A ∈ K^m×p, para todo B ∈ K^p×n: (A·B)^T = B^T · A^T
• Para todo A ∈ K^m×n: (A^T)^T = A
• Para todo α ∈ K, para todo A ∈ K^n×n: (α·A)^T = α·A^T

Matriz Invertible

Sea A ∈ K^m×m (matriz cuadrada). Se dice que es invertible si y solo si existe B ∈ K^m×m tal que A·B = B·A = I_m.

• B es la matriz inversa de A y B = A^-1. Esta es única.
• Una matriz A no invertible se llama matriz singular.

Propiedades de la Matriz Invertible

• Si A ∈ K^n×n es invertible ⇒ A^-1 ∈ K^n×n es invertible y (A^-1)^-1 = A
• Si A, B ∈ K^n×n son invertibles ⇒ A·B ∈ K^n×n es invertible y (A·B)^-1 = B^-1·A^-1
• Si A ∈ K^n×n es invertible ⇒ A^T ∈ K^n×n es invertible y (A^T)^-1 = (A^-1)^T
• Si A ∈ K^n×n es invertible y c ∈ K : c ≠ 0 ⇒ c·A ∈ K^n×n es invertible y (c·A)^-1 = (1/c)·A^-1

Matriz Adjunta

Sea A ∈ K^n×n. Definimos la matriz adjunta de A, denotada adj(A), como la matriz transpuesta de la matriz de cofactores de A. Es decir, si A_ij es el cofactor del elemento a_ij, entonces adj(A) = (A_ji).

Rango de una Matriz

Sea A ∈ K^m×n. Se define el rango de la matriz A, denotado r(A), como el número de filas o columnas no nulas de la matriz escalonada obtenida de A.

Demostración de Condición Suficiente para Invertibilidad

det(A) ≠ 0 ⇒ Existe A^-1 (condición suficiente).

B = A^-1 = (1/det(A)) · adj(A)

Demostración de Condición Necesaria para Invertibilidad

Existe A^-1 = B ⇒ det(A) ≠ 0.

Consideramos la definición de matriz inversa. Al ser A invertible por hipótesis, tenemos A·B = B·A = I_n. Aplicamos el determinante a todos los miembros:

• det(A·B) = det(B·A) = det(I_n)
• Por propiedad de determinantes y por axiomas, det(I_n) = 1.
• det(A)·det(B) = 1.
• Esto nos dice que det(A) o det(B) es el inverso multiplicativo del otro, es decir, det(A) = 1/det(B).
• Como existe el inverso multiplicativo, det(A) ≠ 0 por definición.

Determinantes

Llamaremos determinante de orden n a toda función det: K^n×n → K, tal que A → det(A), que satisfaga los siguientes axiomas:

• Axioma de Linealidad por Columna: Si A = (a₁, ..., a_j, ..., a_n) ∈ K^n×n y a_j = c·a'_j para algún c ∈ K, entonces det(A) = det(a₁, ..., c·a'_j, ..., a_n) = c·det(a₁, ..., a'_j, ..., a_n).

Propiedades de los Determinantes

El determinante de una matriz no varía si a una fila o columna se le suma el producto de un escalar por otra fila o columna (una combinación lineal).

Sea A ∈ K^n×n: A = (A₁, ..., A_i, ..., A_j, ..., A_n), con i ≠ j.

Sea A' ∈ K^n×n: A' = (A₁, ..., A_i + λ·A_j, ..., A_j, ..., A_n), con λ ∈ K.

Entonces det(A) = det(A').

Demostración

• det(A') = det(A₁, ..., A_i + λ·A_j, ..., A_j, ..., A_n)
• = det(A₁, ..., A_i, ..., A_j, ..., A_n) + det(A₁, ..., λ·A_j, ..., A_j, ..., A_n) (Por linealidad)
• = det(A₁, ..., A_i, ..., A_j, ..., A_n) + λ·det(A₁, ..., A_j, ..., A_j, ..., A_n) (Por propiedad de escalar)
• = det(A) + λ·0 (Un determinante con dos filas/columnas idénticas es cero)
• = det(A).

Cofactor de un Elemento

Sea A = (a_ij) ∈ K^n×n. Llamaremos cofactor de un elemento a_ij, y se lo denotará A_ij, al número real que se obtiene de multiplicar (-1)^i+j por el determinante de la submatriz que resulta de suprimir la fila i y la columna j de A. Es decir, cof(a_ij) = A_ij = (-1)^i+j · det(A_ij).

Conjunto Solución de un Sistema Lineal

Sea A ∈ K^m×n y x ∈ K^n×1. Llamaremos conjunto solución del sistema A·x = B al conjunto S_B = {x ∈ K^n×1 | A·x = B}.

S_B ≠ ∅ (conjunto de elementos que verifican el sistema). x es la matriz columna con los valores solución de las incógnitas.