Dominando la Factorización: Métodos Esenciales en Álgebra
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La factorización es un proceso fundamental en álgebra que consiste en transformar una expresión algebraica (un polinomio o monomio) en un producto de sus factores. Es una habilidad crucial para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y trabajar con funciones. A continuación, se presentan los métodos de factorización más comunes y sus aplicaciones, explicados paso a paso.
1. Factorización de un Monomio
En este caso, se identifican los factores primos y literales que componen el término.
Ejemplo:
15ab = 3 × 5 × a × b
2. Factor Común Monomio
Este método se aplica cuando todos los términos de una expresión tienen un factor común (numérico o literal). Se identifica el factor común de mayor grado y coeficiente entre los términos.
Ejemplo:
Considera la expresión a² + 2a. Como se observa, la literal 'a' está presente en ambos términos, siendo este el factor común.
a² + 2a = a(a + 2)
3. Factor Común Polinomio
Este método es una extensión del factor común monomio, donde el factor que se repite es un polinomio (una expresión entre paréntesis).
Ejemplo:
En la expresión x(a + b) + m(a + b), el factor que se repite en ambos términos es (a + b), el cual se extrae como factor común.
x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)
4. Factor Común por Agrupación de Términos
Este método se utiliza cuando no hay un factor común en todos los términos de la expresión, pero sí en grupos de ellos. Se agrupan los términos que comparten un factor común.
Ejemplo:
Factorizar ax + bx + ay + by
Agrupar términos:
Se agrupan los términos que tienen un factor común.
(ax + bx) + (ay + by)
Aplicar Factor Común Monomio:
Una vez agrupados, se aplica el método de Factor Común Monomio a cada grupo.x(a + b) + y(a + b)
Aplicar Factor Común Polinomio:
Finalmente, se aplica el método de Factor Común Polinomio.x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b)
5. Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)
Un trinomio es cuadrado perfecto si cumple la siguiente regla: El cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Su forma general es a² ± 2ab + b² = (a ± b)².
Ejemplo:
Factorizar m² + 6m + 9
Extraer raíces cuadradas:
Se extrae la raíz cuadrada del primer término (m²) y del tercer término (9).
Raíz de m² es m
Raíz de 9 es 3
Formar el binomio:
Las raíces obtenidas se colocan dentro de un paréntesis, separadas por el signo del segundo término del trinomio (en este caso, '+'). Luego, se eleva este binomio al cuadrado.(m + 3)²
Nota: Si el segundo signo del trinomio hubiera sido '-', el binomio resultante sería (m - 3)².
Verificar la regla del TCP:
Se comprueba si el trinomio original cumple la regla del TCP.- El cuadrado del primer término:
m² - El doble producto del primer término por el segundo:
2(m)(3) = 6m - El cuadrado del segundo término:
3² = 9
Confirmación:
Al unir los términos, se obtienem² + 6m + 9, confirmando que es un Trinomio Cuadrado Perfecto.6. Diferencia de Cuadrados Perfectos
Una diferencia de cuadrados se factoriza en dos binomios conjugados (los mismos términos con signos opuestos). Su forma general es a² - b² = (a - b)(a + b).
Ejemplos:
a² - b² = (a - b)(a + b)
4a² - 9 = (2a - 3)(2a + 3)
7. Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos
Este método aplica la misma regla de la diferencia de cuadrados cuando uno o ambos términos son expresiones compuestas.
Ejemplo:
Factorizar (a + b)² - c²
Aplicando la fórmula de diferencia de cuadrados, donde el primer término es (a + b) y el segundo es c:
(a + b)² - c² = [(a + b) + c][(a + b) - c]
Eliminando los paréntesis internos:
(a + b + c)(a + b - c)
8. Trinomio de la Forma x² + bx + c
Este método se aplica a trinomios donde el coeficiente del término cuadrático es 1.
Ejemplo:
Factorizar x² + 7x + 12
Abrir paréntesis:
Se abren dos paréntesis, colocando la raíz cuadrada del primer término (x²) en cada uno.
(x.......)(x.......)
Buscar números:
Se buscan dos números que, sumados, den el coeficiente del segundo término (7) y, multiplicados, den el término independiente (12).4 + 3 = 7
4 × 3 = 12
Colocar números:
Los números encontrados son 4 y 3. Se colocan dentro de los paréntesis con sus respectivos signos.(x + 4)(x + 3)
La factorización final es: x² + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3)
9. Trinomio de la Forma ax² + bx + c
Este método se utiliza cuando el coeficiente del término cuadrático (a) es diferente de 1. Es un poco más complejo y requiere pasos adicionales.
Ejemplo:
Factorizar 6x² - x - 2
Multiplicar por 'a':
Se multiplica todo el trinomio por el coeficiente del primer término (6). En el segundo término, solo se deja indicada la multiplicación.
6(6x² - x - 2) = 36x² - 6x - 12
Abrir paréntesis:
Se abren dos paréntesis, colocando la raíz cuadrada del primer término del trinomio equivalente (36x²) en cada uno.(6x.......)(6x.......)
Buscar números:
Basándose en los coeficientes del segundo término (-1) y el tercer término (-12) del trinomio equivalente, se buscan dos números que, sumados, den -1 y, multiplicados, den -12.-4 + 3 = -1
(-4) × (3) = -12
Colocar números:
Se colocan los números encontrados dentro de los paréntesis.(6x - 4)(6x + 3)
Dividir por 'a':
Dado que se multiplicó inicialmente por 'a' (6), ahora se debe dividir el resultado por 'a'. Se factorizan los factores comunes de cada binomio para simplificar la división.(6x - 4)(6x + 3) / 6
[2(3x - 2)][3(2x + 1)] / 6
6(3x - 2)(2x + 1) / 6
(3x - 2)(2x + 1)
La factorización final es: 6x² - x - 2 = (3x - 2)(2x + 1)
10. Suma o Diferencia de Cubos
Estos métodos se aplican a binomios que son la suma o la diferencia de dos términos elevados al cubo.
Suma de Cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
La factorización se realiza de la siguiente manera:
- El binomio de la suma de las raíces cúbicas de ambos términos:
(a + b) - El cuadrado del primer término:
a² - Menos el producto de los dos términos:
-ab - Más el cuadrado del segundo término:
b²
Diferencia de Cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
La factorización se realiza de la siguiente manera:
- El binomio de la resta de las raíces cúbicas de ambos términos:
(a - b) - El cuadrado del primer término:
a² - Más el producto de los dos términos:
+ab - Más el cuadrado del segundo término:
b²