Dominando Espacios Vectoriales: Definiciones Clave, Rango y Transformaciones de Gauss

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Definición de Espacio Vectorial Real

Un espacio vectorial real es un conjunto V, no vacío, a cuyos elementos llamaremos vectores, con dos operaciones: una interna (simbolizada con +) y otra externa (simbolizada con ·), que cumplen las siguientes propiedades:

• I. (V, +) tiene estructura de grupo abeliano.
• II. La operación externa (·): R × V → V.

Subespacio Vectorial

Dado un espacio vectorial real V, diremos que un subconjunto no vacío S de V es un subespacio vectorial si, con las restricciones de las operaciones definidas en V sobre S, este tiene por sí mismo estructura de espacio vectorial.

Dependencia e Independencia Lineal de Vectores

Un conjunto de vectores de un espacio vectorial V se dice que es un sistema ligado o que los vectores son linealmente dependientes si existe alguna combinación lineal de ellos nula con algún coeficiente no nulo.

En consecuencia, un conjunto de vectores de un espacio vectorial V se dice que es un sistema libre o que los vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos nula es aquella que tiene todos los coeficientes nulos.

Dimensión de un Espacio Vectorial

Un espacio vectorial V tiene infinitas bases, pero todas ellas tienen el mismo número de vectores, que se denomina dimensión del espacio vectorial V, y se simboliza dim(V).

Rango de un Sistema de Vectores

El rango de un sistema de vectores S es la dimensión del subespacio vectorial que generan, y lo simbolizaremos r(S). Es decir:

r(S) = dim(L(S)) = número de vectores de su base = número máximo de vectores linealmente independientes de S.

Sistemas de Vectores Equivalentes

Dos sistemas S y S’ son equivalentes si generan el mismo subespacio vectorial. Es decir, S es equivalente a S’ si y solo si L(S) = L(S’), lo que implica que r(S) = r(S’).

Transformaciones Elementales de Gauss

Las transformaciones de Gauss son operaciones que se pueden aplicar a los vectores de un sistema sin alterar el subespacio que generan:

1. Cambiar el orden de los vectores.
2. Multiplicar un vector por un número real no nulo.
3. Suprimir un vector que sea combinación lineal del resto.
4. Añadir a un vector otro multiplicado por un número real.
5. Sustituir un vector por una combinación lineal de todos, siempre que el coeficiente del vector sustituido sea distinto de cero.

Cualquier transformación de Gauss aplicada a los vectores de un sistema S da como resultado un sistema S’ equivalente al primero.

Cálculo del Rango por el Método de Gauss

El cálculo del rango de un sistema de vectores por el método de Gauss consiste en modificar el sistema de vectores mediante transformaciones de Gauss hasta convertirlo en un sistema escalonado. Entonces, el rango del sistema coincide con el número de vectores no nulos del sistema final.