Dominando Derivadas y Sistemas Lineales: Conceptos Clave de Cálculo y Álgebra

Conceptos Fundamentales del Cálculo Diferencial

Derivada de una Función en un Punto

Sea una función continua en un intervalo I y sea a un punto interior a dicho intervalo. Definimos como derivada de f en el punto a, y denotada por f'(a), al límite del cociente incremental cuando x tiende a "a".

y'(a) = f'(a) = limx→a (f(x) - f(a)) / (x - a)

Función Derivada

Si la función f es derivable para todo x en un intervalo, entonces, asociando a cada x el número f'(x), se obtiene una función f' llamada función derivada de f.

Incrementos de la Variable y de la Función

Sea una función y=f(x) continua en un entorno del punto x=a. Si del valor "a" pasamos a una abscisa x, decimos que la variable ha experimentado un incremento que simbolizamos con Δx. Este incremento se obtiene mediante:

• Δx = x - a
• Si x > a, entonces Δx > 0
• Si x < a, entonces Δx < 0

Correspondientemente, la ordenada de la función ha pasado del valor f(a) al valor f(x), y el incremento lo denominamos Δy, siendo:

• Δy = f(x) - f(a)
• Si f(x) > f(a), entonces Δy > 0
• Si f(x) < f(a), entonces Δy < 0

Diferencial de una Función

La diferencial de una función y=f(x) es igual al producto de su derivada por un incremento cualquiera de la variable independiente, y se denota con dy.

dy = f'(x) · dx

Interpretación geométrica: Ver figura adjunta.

Recta Tangente y Recta Normal

Recta Tangente

La recta tangente al gráfico de una función derivable f en el punto de abscisa a y ordenada f(a) es la recta a la cual pertenece dicho punto y cuya pendiente es f'(a).

Recta Normal

La recta normal al gráfico de una función derivable, en un punto del mismo, es la recta que pasa por dicho punto y es perpendicular a la tangente, es decir, que tiene pendiente -1/f'(a) si f'(a) ≠ 0.

Método de la Derivada Logarítmica

1. Aplicar logaritmo natural a ambos miembros de la expresión de la función y utilizar sus propiedades para simplificar la misma.
2. Derivar miembro a miembro usando las reglas.
3. Despejar y'.

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Álgebra Matricial

Clasificación de Sistemas Lineales según su Solución

• Sistema Compatible:
  • Determinado: Única solución.
  • Indeterminado: Infinitas soluciones.
• Sistema Incompatible: No tiene solución.

Representación Gráfica de Sistemas Lineales

Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

Gráficas: Ver figura adjunta.

Métodos para Resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Igualación
2. Sustitución
3. Regla de Cramer
4. Resolución Matricial
5. Método de Gauss y Gauss-Jordan

Interpretación Geométrica de Soluciones

• Igualación (caso compatible determinado): Dos rectas secantes. Ejemplo: Se intersecan en el punto (2; -1).
• Sustitución (caso incompatible): Dos rectas paralelas.

Teorema de Rouché-Frobenius

Para una matriz de coeficientes A de m x n y una matriz ampliada (A|B):

• Si r(A) = r(A|B) = n (número de incógnitas), entonces el sistema de ecuaciones lineales es compatible determinado.
• Si r(A) = r(A|B) < n, entonces el sistema es compatible indeterminado.
• Si r(A) ≠ r(A|B), entonces el sistema es incompatible.

Operaciones Elementales con Matrices

1. Operación Elemental Tipo 1: Intercambiar dos líneas (filas o columnas). Ejemplo: F_i ↔ F_j (i ≠ j)
2. Operación Elemental Tipo 2: Multiplicar una línea por un escalar distinto de 0.
3. Operación Elemental Tipo 3: A la fila i añadir la fila j multiplicada por un escalar distinto de 0.

Matriz Escalonada

Aplicando operaciones elementales, una matriz escalonada cumple:

1. El primer elemento no nulo de un renglón es 1 (llamado pivote).
2. Los renglones que tienen todos sus elementos nulos se agrupan en la parte inferior de la matriz.
3. En dos renglones consecutivos, el 1 principal del renglón inferior aparece más hacia la derecha del primer uno del renglón superior.