Dominando las Derivadas: Ejercicios Resueltos de Cálculo Diferencial
Enviado por Chuletator online y clasificado en Matemáticas
Escrito el en 
español con un tamaño de 8,09 KB
Este documento presenta una colección de ejercicios resueltos de derivación, aplicando las reglas fundamentales del cálculo diferencial. Cada problema ilustra la aplicación de una o varias reglas de derivación, como la regla del cociente, la regla del producto, la regla de la cadena y la regla de la potencia, con sus respectivas soluciones paso a paso.
Regla del Cociente
La regla del cociente se utiliza para derivar funciones que son el cociente de dos funciones diferenciables. Si f(x) = u(x)/v(x), entonces su derivada es:
d u v du/dx − u dv/dx — ( — ) = ————————— dx v v²
Problema 1: Derivada de una Función Racional
d c²+x² — (—————) dx −c²+x²
Aplicando la regla del cociente:
(−c²+x²)(d/dx(c²+x²))−(c²+x²)(d/dx(−c²+x²))
= ——————————————————————
(−c²+x²)²
4c²x
= —————
(−c²+x²)²
Problema 2: Derivada de otra Función Racional
d c²−x² — (—————) dx c²+x²
Aplicando la regla del cociente:
(c²+x²)(d/dx(c²−x²))−(c²−x²)(d/dx(c²+x²))
= ——————————————————————
(c²+x²)²
4c²x
= —————
(c²+x²)²
Problema 3: Derivada de una Función Racional Compleja
d 3−2x−x² — (—————) dx −1+x²
Aplicando la regla del cociente:
(−1+x²)(d/dx(3−2x−x²))−(3−2x−x²)(d/dx(−1+x²))
= —————————————————————————
(−1+x²)²
2
= —————
(1+x)²
Problema 4: Derivada de una Función Racional con Producto en el Numerador
d (−3−x+x²)(1+x+x²) — (—————————) dx 1+x²
Aplicando la regla del cociente:
−(−3−x+x²)(1+x+x²)(d/dx(1+x²))+(1+x²)(d/dx((−3−x+x²)(1+x+x²)))
= ——————————————————————————————————————————
(1+x²)²
2(−2+2x²+2x²+x )
= —————————
(1+x²)²
Problema 5: Derivada de una Función Trigonométrica Racional
d sec(t) — (—————) dt t
Aplicando la regla del cociente:
t(d/dt(sec(t)))−(d/dt(t))sec(t)
= ———————————————
t²
sec(t)(−1+ t tan(t))
= ———————————
t²
Regla de la Cadena y Potencia
La regla de la cadena se aplica cuando se deriva una función compuesta. Si f(x) = g(h(x)), entonces f'(x) = g'(h(x)) · h'(x). La regla de la potencia para xn es nxn−1.
Problema 6: Derivada de una Raíz Cuadrada
Fórmula general para la derivada de una raíz cuadrada:
d __ 1 — (−/u) = ———— du 2−/u
Aplicando la regla de la cadena:
d _______ — (−/1−x+3x²) dx d/dx(1−x+3x²) = ————————— 2−/1−x+3x² −1+6x = ————————— 2−/1−x+3x²
Problema 7: Derivada de una Función Racional (revisión)
Este problema también puede resolverse con la regla del cociente, pero se incluye aquí por su simplicidad.
d 2+3r — (——————) dr 3+2r
Aplicando la regla del cociente:
−(2+3r)(d/dr(3+2r))+(3+2r)(d/dr(2+3r))
= ——————————————————————
(3+2r)²
5
= —————
(3+2r)²
Problema 8: Derivada de un Producto con Raíz Cuadrada
La regla del producto es d/dx(uv) = v du/dx + u dv/dx.
d ________ — ((−1+x)−/2−2x+x² ) dx
Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
_______ d d _______
= −/2−2x+x² (—(−1+x)) + (−1+x)(—(−/2−2x+x²))
dx dx
3−4x+2x²
= ———————
________
−/2−2x+x²
Problema 9: Derivada de un Producto con Potencia y Cadena
La regla del producto es d/dx(uv) = v du/dx + u dv/dx.
d — ((3+x²) (−5+2x³)³) dx
Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
= (−5+2x³)³(d/dx((3+x²))) + (3+x²)(d/dx((−5+2x³)³)) = 2x(3+x²)³(−5+2x³)²(−20+27x+17x³)
Problema 10: Derivada de una Suma con Potencias
La regla de la potencia es d/dx(xn) = nxn−1.
d 48 — (——+x³) dx x
Aplicando la regla de la potencia:
d −1 = —(x³) + 48—(x ) dx dx 48 = ——— + 2x x²
Regla del Producto
La regla del producto se utiliza para derivar funciones que son el producto de dos funciones diferenciables. Si f(x) = u(x)v(x), entonces su derivada es:
d du dv — (uv) = v — + u — dx dx dx
Problema 11: Derivada de un Producto con Función Trigonométrica
d — (x²sin(x)) dx
Aplicando la regla del producto:
d d
= x²(— (sin(x))) + (—(x²))sin(x)
dx dx
= x(x cos(x)+2sin(x))
Problema 12: Derivada de un Producto de Funciones Trigonométricas
d 1 — (——sin(2x)tan(x)) dx 2
Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
1 d d = — — (tan(x))sin(2x) + —(sin(2x))tan(x) 2 dx dx 1 = — sec²(x)sin(2x) + cos(2x)tan(x) 2
Problema 13: Derivada de un Producto con Función Logarítmica
d — (x log(x)) dx
Aplicando la regla del producto:
d d
= log(x)(—(x)) + x(—(log(x)))
dx dx
= log(x)+1
Problema 14: Derivada de un Producto con Función Exponencial
d x — (e x² ) dx
Aplicando la regla del producto:
x = e x(2+x)
Problema 15: Derivada de una Función Exponencial Compuesta
d x³ — (e ) dx
Aplicando la regla de la cadena:
x³ = 3x² e
Problema 16: Derivada de una Raíz Cúbica
d ______ — (³−/−1+x²) dx
Aplicando la regla de la cadena y la regla de la potencia:
1
= 2x ———————
3(−1+x²)²/³
Problema 17: Derivada de un Producto con Potencias Fraccionarias
d 5/² — (−1+s²) (5+s³) ds
Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
d 5/2 5/2 d
= (5+s³)(—(−1+s²) ) + (−1+s²) (—(5+s³))
ds ds
³/²
= s(−1+s²) (25−3s+8s³)
Problemas Adicionales de Derivación
Problema 18: Derivada de una Función Trigonométrica Racional
d sin(x) — (—————) dx x²
Aplicando la regla del cociente:
x cos(x)−2 sin (x)
= ———————————
x³
Problema 19: Derivada de un Producto con Raíz Cuadrada
d ______ — (x−/1+x² ) dx
Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena:
1+2x² = ————— ______ −/1+x²
Problema 20: Derivada de una Función Trigonométrica Racional
d 1+sin(x) — (——————) dx 1−sin(x)
Aplicando la regla del cociente:
(d/dx(1+sin(x)))(1−sin(x))−(d/dx(1−sin(x)))(1+sin(x))
= ———————————————————————————————————
(1−sin(x))²
2 cos(x)
= ———————
(1−sin(x))²
Estos ejercicios cubren una amplia gama de aplicaciones de las reglas de derivación, proporcionando una base sólida para el estudio del cálculo diferencial.