Dominando la Cinemática: Ejercicios Resueltos de Movimiento y Aceleración

Fundamentos y Aplicaciones de la Cinemática: Ejercicios Resueltos

Este documento presenta una serie de ejercicios resueltos de cinemática, abordando diferentes tipos de movimiento como el circular, el parabólico y el rectilíneo. Se detallan los cálculos y las fórmulas aplicadas para cada caso, proporcionando una comprensión práctica de los principios fundamentales de la física del movimiento.

Problema 1: Movimiento Circular de un Disco

Un disco gira a una velocidad angular inicial y se acelera uniformemente. Se requiere calcular diversas magnitudes relacionadas con su movimiento.

Datos Iniciales:

• Velocidad angular inicial (ω₀): 0 rad/s
• Velocidad angular final (ω): 400 rpm
• Radio (R): 5 m
• Tiempo (t): 60 s

Conversión de Unidades:

Primero, convertimos la velocidad angular de revoluciones por minuto (rpm) a radianes por segundo (rad/s):

ω = 400 rpm × (2π rad / 1 vuelta) × (1 min / 60 s) ≈ 41.89 rad/s

Cálculos:

a) Aceleración Angular (α)

Utilizamos la ecuación de movimiento angular: ω = ω₀ + αt

41.89 rad/s = 0 rad/s + α × 60 s

α = 41.89 rad/s / 60 s ≈ 0.698 rad/s² ≈ 0.7 rad/s²

Nota: La aceleración centrípeta (a_c) o normal (a_n) se calcula como v²/R, pero esta es una aceleración lineal, no angular. La aceleración angular es α. El valor 8772.98 m/s² en el original parece ser un cálculo de aceleración centrípeta con una velocidad lineal incorrecta para este punto del problema.

b) Velocidad Lineal (v) y Aceleración Normal (a_n) en el Segundo 20

Primero, calculamos la velocidad angular (ω) en t = 20 s:

ω = ω₀ + αt = 0 + 0.698 rad/s² × 20 s ≈ 13.96 rad/s

Luego, la velocidad lineal (v) en t = 20 s:

v = ωR = 13.96 rad/s × 5 m = 69.8 m/s

Finalmente, la aceleración normal (a_n) en t = 20 s:

a_n = v²/R = (69.8 m/s)² / 5 m = 4872.04 m²/s² / 5 m ≈ 974.4 m/s²

Nota: El valor original 69,66m/s2 para la velocidad lineal es incorrecto en unidades (debería ser m/s) y el cálculo de a_n se basa en ese valor. Mi cálculo es más preciso con las unidades correctas.

c) Número de Vueltas en 60 s

Utilizamos la ecuación de posición angular: θ = θ₀ + ω₀t + ½αt²

θ = 0 + 0 × 60 s + ½ × 0.698 rad/s² × (60 s)²

θ = ½ × 0.698 × 3600 rad = 1256.4 rad

Convertimos radianes a vueltas:

Número de vueltas = 1256.4 rad × (1 vuelta / 2π rad) ≈ 200 vueltas

d) Tiempo para Dar 75 Vueltas

Primero, convertimos 75 vueltas a radianes:

θ = 75 vueltas × (2π rad / 1 vuelta) ≈ 471.24 rad

Utilizamos la ecuación de posición angular: θ = θ₀ + ω₀t + ½αt²

471.24 rad = 0 + 0 × t + ½ × 0.698 rad/s² × t²

471.24 = 0.349 t²

t² = 471.24 / 0.349 ≈ 1350.26

t = √1350.26 ≈ 36.75 s

Problema 2: Lanzamiento de un Proyectil desde una Azotea

Se lanza un proyectil desde una azotea, y se busca determinar su posición, velocidad, alcance y altura máxima en diferentes momentos.

Consideraciones Generales:

• Movimiento Horizontal (MRU): Velocidad constante (v_x = v₀_x), posición x = x₀ + v_x t.
• Movimiento Vertical (MRUA): Aceleración constante (a_y = -g = -9.8 m/s²), velocidad v_y = v₀_y - gt, posición y = y₀ + v₀_y t - ½gt².

Cálculos:

a) Posición del Proyectil a los 15 s

Nota: Faltan datos iniciales como v₀ y el ángulo de lanzamiento, así como la altura inicial de la azotea (y₀). Asumo que y₀ = 120 y que v₀_x y v₀_y son valores implícitos en el problema original, aunque no se proporcionan explícitamente. El texto original solo muestra las fórmulas.

x(t=15s) = v₀_x × 15 s

y(t=15s) = 120 + v₀_y × 15 s - 4.9 × (15 s)²

b) Velocidad del Proyectil a los 15 s

v_x = v₀_x (constante)

v_y(t=15s) = v₀_y - 9.8 × 15 s

La magnitud de la velocidad total es: v = √(v_x² + v_y²)

c) Alcance del Proyectil (x_max)

El alcance se logra cuando el proyectil llega al suelo (y = 0).

1. Establecer y = 0 en la ecuación de posición vertical: 0 = y₀ + v₀_y t - ½gt².
2. Resolver la ecuación cuadrática para encontrar el tiempo de vuelo (t).
3. Sustituir este tiempo (t) en la ecuación de posición horizontal: x_max = v₀_x × t.

d) Altura Máxima (y_max)

La altura máxima se alcanza cuando la componente vertical de la velocidad es cero (v_y = 0 m/s).

1. Establecer v_y = 0 en la ecuación de velocidad vertical: 0 = v₀_y - gt.
2. Resolver para encontrar el tiempo (t) en que se alcanza la altura máxima.
3. Sustituir este tiempo (t) en la ecuación de posición vertical: y_max = y₀ + v₀_y t - ½gt².

Problema 3: Encuentro de Trenes

Este problema describe el movimiento de dos trenes, uno con movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y otro con movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).

Datos y Ecuaciones:

• Tren A (MRU):
  • Posición inicial (x₀_A): 0 m
  • Velocidad inicial (v₀_A): 20 m/s
  • Ecuación de posición: x_A = x₀_A + v₀_A t = 0 + 20t = 20t
• Tren B (MRUA):
  • Posición inicial (x₀_B): 2000 m (asumiendo que parte de 2000m y se mueve hacia el origen o en dirección opuesta)
  • Velocidad inicial (v₀_B): 0 m/s
  • Aceleración (a_B): -2 m/s² (asumiendo que es una desaceleración o se mueve en dirección negativa)
  • Ecuación de posición: x_B = x₀_B + v₀_B t + ½a_B t² = 2000 + 0×t + ½(-2)t² = 2000 - t²
  • Ecuación de velocidad: v_B = v₀_B + a_B t = 0 + (-2)t = -2t

Cálculo del Encuentro:

Para encontrar el momento y la posición de encuentro, igualamos las ecuaciones de posición de ambos trenes:

x_A = x_B

20t = 2000 - t²

Reorganizando la ecuación cuadrática:

t² + 20t - 2000 = 0

Resolviendo para t (usando la fórmula cuadrática t = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a):

t = [-20 ± √(20² - 4 × 1 × -2000)] / (2 × 1)

t = [-20 ± √(400 + 8000)] / 2

t = [-20 ± √8400] / 2

t = [-20 ± 91.65] / 2

Tomando el valor positivo del tiempo:

t = (-20 + 91.65) / 2 ≈ 35.825 s

Nota: El valor t2+20t.2000=0=55,82 en el original es incorrecto. El cálculo de t es fundamental. El valor 55.82 parece ser un error de cálculo o una interpretación diferente del problema.

Posición y Velocidad en el Momento del Encuentro:

Posición de encuentro (x_A):

x_A = 20 × 35.825 ≈ 716.5 m

Velocidad del Tren B (v_B) en el momento del encuentro:

v_B = -2 × 35.825 ≈ -71.65 m/s

Nota: Los valores originales xa=1116,4m y vb=-111,64m/s no corresponden con el planteamiento de encuentro de trenes con las ecuaciones dadas.

Conceptos Fundamentales de Cinemática

Esta sección aclara algunas definiciones clave en cinemática.

Unidades y Conversiones:

20 gr cm/s² es una unidad de fuerza en el sistema CGS (dinas). 20 dinas = 20 × 10⁻⁵ N = 2 × 10⁻⁴ N. El valor 2,6a la -4 es una conversión o un resultado numérico que no está claro en el contexto original.

Definiciones de Velocidad y Aceleración:

• Velocidad Media (V_m):
  • Módulo: |Δr / Δt| = |r₂ - r₀| / (t - t₀)
  • Dirección: La del vector desplazamiento (Δr).
  • Sentido: El del vector desplazamiento (Δr).
• Velocidad Instantánea (V_inst):
  • Módulo: |dr/dt| (derivada del vector posición respecto al tiempo).
  • Dirección: Tangente a la trayectoria en el punto considerado.
  • Sentido: El del movimiento.
• Aceleración Media (A_m):
  • Módulo: |Δv / Δt|
  • Dirección: La del vector cambio de velocidad (Δv).
  • Sentido: El del vector cambio de velocidad (Δv).
• Aceleración Instantánea (A_inst):
  • Módulo: |dv/dt| (derivada del vector velocidad respecto al tiempo).
  • Dirección: La del vector cambio de velocidad instantáneo (dv).
  • Sentido: El del cambio de velocidad.

Movimiento Circular Uniforme (MCU):

• Velocidad angular (ω): Constante.
• Aceleración angular (α): 0 rad/s².
• Aceleración tangencial (a_t): 0 m/s².
• Aceleración normal (a_n) o centrípeta: a_n = v²/R = ω²R.

Problema 4: Aceleración de un Coche de Carreras

Un coche de carreras experimenta aceleración tangencial y normal.

Cálculos:

• Aceleración tangencial (a_t): a_t = dv/dt (en m/s²). El valor 7 en el original parece ser la magnitud de a_t.
• Aceleración normal (a_n): a_n = v²/R.

  Si v = 7.2 m/s y R = 1000 m (asumiendo que 1000ms. es 1000 metros):

  a_n = (7.2 m/s)² / 1000 m = 51.84 m²/s² / 1000 m ≈ 0.05184 m/s²

  Nota: El valor original 1,76 para a_n no coincide con (7.2)²/1000. Si a_n = 1.76 m/s², entonces v = √(a_n × R) = √(1.76 × 1000) = √1760 ≈ 41.95 m/s. Asumo que 7.2 es a_t y 1.76 es a_n, y el 1000 es el radio.

• Vector de aceleración total (a): a = a_t u_t + a_n u_n, donde u_t es el vector unitario tangencial y u_n es el vector unitario normal.
• Módulo de la aceleración total: |a| = √(a_t² + a_n²).

  Si a_t = 7 m/s² y a_n = 1.76 m/s²:

  |a| = √(7² + 1.76²) = √(49 + 3.0976) = √52.0976 ≈ 7.218 m/s²

Problema 5: Movimiento Circular Acelerado

Un objeto con movimiento circular acelerado, con datos de radio, tiempo y velocidad angular inicial.

Datos Iniciales:

• Radio (R): 2 m
• Tiempo (t): 50 s
• Velocidad angular inicial (ω₀): 300 rpm

Conversión de Unidades:

ω₀ = 300 rpm × (2π rad / 1 vuelta) × (1 min / 60 s) = 10π rad/s ≈ 31.42 rad/s

Cálculos:

Nota: El problema original parece tener una inconsistencia. Si ω₀ = 10π rad/s, y luego se calcula α = (π - 0) / 5 = 0.2π, esto implica que la velocidad angular final es π rad/s en 5 segundos, lo cual contradice el ω₀ = 10π rad/s. Asumo que ω₀ = 0 y que 300rpm es la velocidad angular final en t = 50 s.

a) Aceleración Angular (α)

Asumiendo ω₀ = 0 rad/s y ω_final = 10π rad/s en t = 50 s:

α = (ω_final - ω₀) / t = (10π - 0) / 50 = 0.2π rad/s²

b) Velocidad Lineal (v) en un Tiempo Específico (ej. si 4π es la velocidad angular en ese tiempo)

Si ω = 4π rad/s (asumiendo que es la velocidad angular en algún momento):

v = ωR = 4π rad/s × 2 m = 8π m/s ≈ 25.13 m/s

c) Aceleración Normal (a_n)

a_n = v²/R = (8π m/s)² / 2 m = (64π² m²/s²) / 2 m = 32π² m/s² ≈ 315.83 m/s²

d) Número de Vueltas en 50 s

θ = θ₀ + ω₀t + ½αt²

θ = 0 + 0 × 50 + ½ × (0.2π rad/s²) × (50 s)²

θ = ½ × 0.2π × 2500 rad = 0.1π × 2500 rad = 250π rad

Convertimos a vueltas:

Número de vueltas = 250π rad × (1 vuelta / 2π rad) = 125 vueltas

e) Tiempo para Dar 45 Vueltas

Convertimos 45 vueltas a radianes:

θ = 45 vueltas × (2π rad / 1 vuelta) = 90π rad

Utilizamos la ecuación de posición angular: θ = θ₀ + ω₀t + ½αt²

90π rad = 0 + 0 × t + ½ × (0.2π rad/s²) × t²

90π = 0.1π t²

t² = 90π / 0.1π = 900

t = √900 = 30 s

Problema 6: Movimiento Parabólico con Ángulo de Lanzamiento

Se lanza un proyectil con una velocidad inicial y un ángulo, y se calculan sus componentes de velocidad, posición y otros parámetros.

Datos Iniciales (Asumidos):

• Velocidad inicial (v₀): 200 m/s
• Ángulo de lanzamiento (α): Asumo que cos(α) = 0.86 y sin(α) = 0.5. Esto implica α ≈ 30°.
• Aceleración de la gravedad (g): Asumo g = 10 m/s² (como se usa en el original).
• Altura inicial (y₀): 100 m (según el cálculo de y).

Componentes de Velocidad Inicial:

• v₀_x = v₀ × cos(α) = 200 m/s × 0.86 = 172 m/s (original 173.2, si cos(α) = √3/2 ≈ 0.866)
• v₀_y = v₀ × sin(α) = 200 m/s × 0.5 = 100 m/s

Cálculos:

a) Posición a los 10 s

x(t=10s) = x₀ + v₀_x t = 0 + 172 m/s × 10 s = 1720 m

y(t=10s) = y₀ + v₀_y t - ½gt² = 100 m + 100 m/s × 10 s - ½ × 10 m/s² × (10 s)²

y(t=10s) = 100 + 1000 - 5 × 100 = 100 + 1000 - 500 = 600 m

La posición es (1720 m, 600 m).

b) Velocidad a los 10 s

v_x = v₀_x = 172 m/s

v_y = v₀_y - gt = 100 m/s - 10 m/s² × 10 s = 100 - 100 = 0 m/s

El vector velocidad es (172i + 0j) m/s.

La magnitud de la velocidad es: |v| = √(v_x² + v_y²) = √(172² + 0²) = 172 m/s

Nota: El cálculo original v=(173,2i+0j) y v=raiz de 173,22+02=173,2ms es consistente con su v₀_x, pero mi v₀_x es 172.

c) Alcance del Proyectil (x_max)

El alcance se logra cuando y = 0.

0 = y₀ + v₀_y t - ½gt²

0 = 100 + 100t - 5t²

Dividiendo por -5:

t² - 20t - 20 = 0

Resolviendo para t (usando la fórmula cuadrática):

t = [20 ± √((-20)² - 4 × 1 × -20)] / (2 × 1)

t = [20 ± √(400 + 80)] / 2

t = [20 ± √480] / 2

t = [20 ± 21.91] / 2

Tomando el valor positivo del tiempo:

t = (20 + 21.91) / 2 ≈ 20.955 s

El alcance es: x_max = v₀_x × t = 172 m/s × 20.955 s ≈ 3604.26 m

Nota: El valor original x=-20-20t+t2 es una reordenación incorrecta de la ecuación cuadrática. El tiempo 20,9 seg es muy cercano a mi cálculo. El alcance 3629,3m es también cercano.

d) Altura Máxima (y_max)

La altura máxima se alcanza cuando v_y = 0 m/s.

v_y = v₀_y - gt

0 = 100 m/s - 10 m/s² × t

10t = 100

t = 10 s

Sustituimos este tiempo en la ecuación de posición vertical:

y_max = y₀ + v₀_y t - ½gt² = 100 m + 100 m/s × 10 s - ½ × 10 m/s² × (10 s)²

y_max = 100 + 1000 - 500 = 600 m

Nota: El cálculo original y=100+100.10-5.100=600 es correcto para la altura máxima.