Distribuciones de Probabilidad y Estadística: Conceptos y Fórmulas Fundamentales

Distribuciones de Probabilidad Discretas

Distribución Binomial

Características:

• 1) Universo infinito.
• 2) Variables independientes.
• 3) Experimentos dicotómicos.
• 4) Con reposición.

Parámetros Estadísticos:

• 1) Esperanza: n · p
• 2) Varianza: n · p · q
• 3) Desvío Estándar (S): Raíz cuadrada de la varianza.
• 4) Coeficiente de Variación (CV): S / E

Parámetros Matemáticos:

• 1) N: Tamaño de la muestra.
• 2) P: Probabilidad de ocurrencia.
• 3) Q: 1 - P

Distribución de Poisson

Representa la cantidad de elementos que se presentan al azar en un continuo de extensión t, con un promedio de presentación en el continuo igual a λ (lambda).

Características:

• 1) Universo infinito.
• 2) No es dicotómico.

Parámetros Estadísticos:

• 1) Esperanza E(x): λ
• 2) Varianza (Var): λ
• 3) Desvío Estándar S(x): Raíz de λ
• 4) Coeficiente de Variación (CV): S / λ

Parámetros Matemáticos:

• 1) λ: b · t

Distribución de Pascal

Características:

• 1) Universo infinito.
• 2) Con reposición.
• 3) Observaciones independientes.
• 4) Dicotómico.

Parámetros Matemáticos:

• 1) r
• 2) p

Parámetros Estadísticos:

• 1) Esperanza E(n): r / p
• 2) Varianza V(n): (r · q) / p²

Distribución Hipergeométrica

Características:

• 1) Universo finito.
• 2) Sin reposición.
• 3) Observaciones dependientes.
• 4) Dicotómico.

Parámetros Matemáticos:

• 1) N: Universo.
• 2) R
• 3) n

Parámetros Estadísticos:

• 1) Esperanza E(x): n · R / N
• 2) Probabilidad (P): Cf / Cp
• 3) Varianza V(x): n · p · q

Distribuciones de Probabilidad Continuas

Distribución Normal

Características:

• 1) La moda, el promedio y la mediana coinciden en un valor. Este valor es la letra griega μ (mu).
• 2) La distribución normal es simétrica y mesocúrtica.
• 3) Por ser función de densidad de probabilidad, la función de densidad normal cumple con la condición de no negatividad y la condición de cierre.
• 4) Al estandarizarla, obtenemos un número que nos indica a cuántos desvíos estamos de la media.

Parámetros Matemáticos:

• 1) μ (Mu): Esperanza.
• 2) σ (Sigma): Desvío.

Proceso de Estandarización:

• 1) Z: (x - μ) / σ

Distribución Uniforme

Características:

• 1) Los parámetros matemáticos son a y b.
• 2) Cumple con las condiciones de cierre y no negatividad.
• 3) No tiene máximo relativo (modo).
• 4) El promedio es igual a la mediana (punto donde se acumula el 50%).

Parámetros Estadísticos:

• 1) Percentil Pk: (k / 100) · (b - a) + a
• 2) Esperanza E(x): (a + b) / 2
• 3) Varianza: (b - a)² / 12
• 4) Función de Distribución: (x - a) / (b - a)

Distribución Exponencial

Características:

• 1) Es una función de densidad decreciente, cuyo área vale uno por condición de cierre.

Parámetros Estadísticos:

• 1) Esperanza E(x): β (Beta)
• 2) Varianza V(x): β²
• 3) Desvío Estándar S(x): β
• 4) Coeficiente de Variación (CV): 1
• 5) Fórmula práctica: 1 - e^(-x / β)

Teoremas y Momentos Estadísticos

Teorema Central del Límite

En una variable independiente, cada una de ellas con E(x) y V(x) finita, se utiliza la distribución normal si n es mayor a 30.

Momentos

• Momento Absoluto: Es el promedio aritmético de la potencia k-ésima de los valores observados de la variable.
• Momento Centrado: Es el promedio aritmético de la potencia k-ésima de los desvíos con respecto a la media aritmética.

Medidas de Forma y Variables Aleatorias

Medidas de Forma

• Asimetría: Es la medida que indica la simetría de la distribución de una variable respecto a la media aritmética.
• Curtosis: Mide cuán achatada está una curva o distribución. Este coeficiente indica la cantidad de datos que hay cercanos a la media.

Variable Aleatoria Discreta Unidimensional

Se llama así a aquella variable aleatoria cuyo recorrido es finito o infinito numerable.

1. Función de Probabilidad Puntual: Consiste en asignar a cada valor del recorrido de dicha variable un número real no negativo, desde el primero hasta el valor en cuestión.
2. Función de Distribución: Es una función que asigna a cada valor del recorrido un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales.
3. Función de Distribución Complementaria: Es una función que asigna a cada valor del recorrido un número real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales, desde el valor en cuestión hasta el último.