Diferenciación Numérica con Polinomios de Lagrange: Métodos y Aplicaciones

Diferenciación Numérica con Polinomios de Lagrange

Introducción a la Diferenciación Polinomial

Si la aproximación es polinomial y se utiliza el criterio de ajuste exacto (en contraste con la aproximación por mínimos cuadrados, donde la diferenciación numérica consistiría en diferenciar el polinomio que mejor ajuste la información tabulada), la diferenciación numérica consiste simplemente en derivar la fórmula del polinomio interpolante utilizado.

En general, si f(x) = p_n(x) + R_n(x), donde R_n(x) es el error cometido al aproximar f(x) por p_n(x), entonces la aproximación de la primera derivada se obtiene como:

O, en general:

(6.1)

Al diferenciar la fórmula fundamental de Newton, se obtiene:

(6.2)

donde es el error cometido al aproximar por .

Diferenciación con Diferencias Finitas

Si las abscisas dadas x₀, x₁, …, x_n están espaciadas regularmente por intervalos de longitud h, entonces p_n(x) puede escribirse en términos de diferencias finitas. Al sustituir f[x₀], f[x₀, x₁], etcétera, en la ecuación del polinomio interpolante de Newton en términos de diferencias finitas, se obtiene:

Y se tendrá:

(6.3)

Al desarrollar algunos de los primeros términos, se obtiene:

(6.4)

Caso n=1: Aproximación Lineal

Selecciónese ahora un valor particular para n; por ejemplo, tómese n = 1, es decir, se aproxima la función tabulada f(x) por una línea recta. Entonces:

Y la primera derivada de f(x) queda aproximada por:

(6.5)

Y, como es de esperarse:

Y así, cualquier otra derivada superior de f(x) quedará aproximada por cero.

Geométricamente, esto equivale a tomar como primera derivada la pendiente de la recta que une los dos puntos de la curva f(x) con abscisas x₀ y x₁ (véase Fig. 6.2).

La primera derivada de f(x) en todo el intervalo [x₀, x₁] queda aproximada por el valor constante (f(x₁) – f(x₀)) / h, el cual, en general, es muy diferente del valor verdadero df(x)/dx.

Figura 6.2: Aproximación lineal de la primera derivada

Caso n=2: Aproximación Cuadrática

Si ahora n = 2, es decir, aproximando la función tabulada f(x) por un polinomio de segundo grado, se tiene:

Y la primera derivada de f(x) queda aproximada por:

Al desarrollar las diferencias hacia adelante, se obtiene:

(6.6)

La segunda derivada puede calcularse derivando una vez más con respecto a x, es decir:

(6.7)

Consideraciones Finales

De igual modo, se obtienen las distintas derivadas para n > 2.

Es importante recordar que existe una estrecha relación entre las diferencias divididas y las derivadas.