Diccionario de Conceptos Clave de Álgebra Lineal y Estructuras Algebraicas

Divisores de cero en un anillo

 Dado un anillo  (A, +, ●), un divisor de cero es un elemento a, distinto de cero, tal que, al multiplicarlo por un elemento b, también distinto de cero, el resultado es cero. Esto es: a ∈ A-{0}   Ǝb∈A-{0}  tal que a●b 0//Irreducibles un polinomio, p(X), (no nulo, no unidad) es irreducible sii toda descomposición en A[x] de la forma p(X)=q(x)r(x) verifica que q(X) es unidad o r(X) es unidad//Permutación 
Sea S={1,2…n} un conjunto finito. Una permutación es una aplicación biyectiva de S en sí mismo.//Inversa 
Sea σ una permutación. Una permutación σ -1 será su inversa si y sólo si: 

σ · σ -1  = Id

Subespacio vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre K, U un subconjunto no vacío de V. Decimos que U es subespacio vectorial de V, y lo notaremos por U ≤ V si se verifican las siguientes condiciones: 1. U es cerrado para la suma: ∀u, w∈U ⇒ u+w∈U 2. U es cerrado para el producto por escalares: ∀α∈ K, ∀ u∈U ⇒ αu∈U //Sistema generadores.
Sea V un espacio vectorial sobre K. Un conjunto de vectores S se dice que es sistema de generadores de V si todo vector V es combinación lineal finita de S//Base
Definición. Sea V un espacio vectorial sobre K. Llamaremos base de V a todo subconjunto B⊆V, verificando: 1. B es sistema de generadores de V 2. B es linealmente independiente//Dimensión
Definición. Sea V un espacio vectorial sobre K. Llamaremos dimensión de V, dim (V), al número de vectores de cualquier base. Si V={0}, diremos que dim({0}) = 0 

Consideremos B ={e, e2,..., e} una base de V, cada vector x de un subespacio U del que conocemos una base B = {1,2,...,u} con coordenadas x = (x1, X2, Xn)B respecto de B, puede interpresarse como los elementos satisfaciendo las ecuaciones:
x1 = a11ap1+a12ap2+..Annapnx2 = a21ap1+a22ap2+..A2napn 
donde ui= (a1i, a2i,..., ani)b son las coordenada de cada ui respecto de B. Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de U respecto de la base B.
Las igualdades anteriores se pueden interpretar como el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones con n incógnitas, dicho sistema es al que llamaremos ecuaciones cartesianas (o implícitas)
De U respecto de la base B.

 Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Una base B={𝑣1, … , 𝑣𝑛} de V, se dice ortogonal si los vectores que la forman son ortogonales dos a dos; es decir, si < 𝑣𝑖, 𝑣𝑗>=0 ∀i≠j. Se dice que B es ortonormal si y sólo si es ortogonal y todos los vectores de la base son unitarios (|| 𝑣𝑖 ||=1 ∀ 𝑣𝑖 ∈B)//Definición. Sea (V,<,>) un espacio vectorial euclídeo. Llamaremos matriz de Gram (o métrica) respecto de una base B={𝑣1, … , 𝑣𝑛} de V, a G=(𝑔𝑖j) siendo 𝑔𝑔𝑖𝑖jj=< 𝑣𝑖, 𝑣𝑗> ∀i,j // Sean V y V’ espacios vectoriales sobre K, f: V → V’ aplicación lineal.
Llamaremos núcleo e imagen de f, respectivamente: Ker(f)={x∈V : f(x)=0V //Sea V espacio vectorial sobre K y f: V → V endomorfismo en V. • Se dice que el escalar λ ∈ K es un valor propio (o autovalor)
De f si existe un vector no nulo v ∈ V de forma que f(v) = λv. 

Diagonalizable

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal, D, semejante a A. Diremos que el endomorfismo f:V → V es diagonalizable si existe una base de V con respecto a la cual la matriz asociada a f es diagonale//Sea f: V → V un endomorfismo y sean λ1, λ2,..., λr sus distintos valores propios. Entonces, f es diagonalizable por semejanza si, y solo si, se verifica las siguientes condiciones: 1. α1 +...+ αr = n 2. Di = αi , para cada i = 1,...,r //Líneal. Sean V y V’ espacios vectoriales sobre K, llamaremos aplicación lineal (o morfismo de espacios vectoriales) de V en V’ a toda aplicación f: V → V’ verificando: i. F(v+w) = f(v) + f(w) ∀v, w∈ V. Ii. F(av) = af(v) ∀a∈ K, ∀v∈V.