Diagonalización de Endomorfismos y Espacios Vectoriales: Conceptos Fundamentales

Diagonalización de Endomorfismos

Un valor propio (o autovalor) existe si hay un vector e ∈ E, con e ≠ 0, tal que f(e) = αe.

Un vector propio (o autovector) está asociado al valor propio α si f(e) = αe.

Propiedades fundamentales

• 1. α es valor propio de f ⇔ f - αId : E → E no es inyectiva.
• 2. Si α es valor propio, el conjunto de vectores propios asociados a α es un subespacio vectorial, denotado como V(α) = Ker(f - αId).
• 3. Un vector e ∈ E no nulo no puede ser vector propio asociado a dos valores propios diferentes.

Demostración: α es v.p. de f ⇔ existe e ≠ 0, f(e) = αe ⇔ (f - αId)(e) = 0. Si e ∈ V(α) ∩ V(ν), entonces f(e) = αe = νe, lo que implica α = ν.

Diagonalización y Linealidad

F es diagonalizable: Si existe una base en la que la matriz asociada a f es diagonal.

• Linealmente independientes (1): Si e₁ y e₂ son dos vectores no nulos asociados a valores propios α₁ y α₂ diferentes, entonces e₁ y e₂ son linealmente independientes (l.i.).
• Linealmente independientes (2): Si (e₁, ..., eₙ) son n vectores no nulos asociados a valores propios α₁, ..., αₙ diferentes, entonces el conjunto es l.i.

Polinomio característico

Cₐ(x) = det(A - xId) = |A - xId|.

Demostración: Cₐ(x) = det(A - xId) = det(Q⁻¹A'Q - xQ⁻¹Q) = det(Q⁻¹(A' - xId)Q) = det(Q⁻¹)det(A' - xId)det(Q) = det(A' - xId) = Cₐ'(x).

Espacios Vectoriales

• Subespacio suma: E₁ + E₂ = {e = e₁ + e₂ | e₁ ∈ E₁, e₂ ∈ E₂}.
• Subespacio intersección: E₁ ∩ E₂ = {e ∈ E | e ∈ E₁ y e ∈ E₂}.
• Unión: E₁ ∪ E₂ = {e ∈ E₁ ∪ E₂ | e ∈ E₁ o e ∈ E₂}.
• Espacio vectorial de dimensión finita: Sea {e₁, e₂, ..., er, er+1, ..., en} una base (l.i. y sistema generador). Si quitamos un vector de un subespacio a una base, el conjunto resultante ya no es sistema generador.

Aplicaciones Lineales

• Inyectiva: Si dos elementos cualesquiera de E que son distintos tienen imágenes distintas. f es inyectiva ⇔ Ker(f) = {0}.
• Epiyectiva: Si Im(f) = E'.
• Matrices equivalentes: Sean A y A' dos matrices de orden m x n. Son equivalentes si están asociadas, en diferentes bases, a la misma aplicación f: E → E'.
• Matriz asociada: Sea f: E → E' una aplicación entre k-espacios vectoriales de dimensión finita, con dim(E) = n y dim(E') = m.
• Núcleo: Ker(f) = {e ∈ E | f(e) = 0}.
• Imagen: Im(f) = {e' ∈ E' | existe e ∈ E con f(e) = e'}.

Suma de subespacios

E₁ + E₂ = {e₁ + e₂ | e₁ ∈ E₁, e₂ ∈ E₂}.