Determinación de Ecuaciones de Lugares Geométricos: Cónicas y Rectas Fundamentales

Fundamentos de la Geometría Analítica y Lugares Geométricos

La Geometría Analítica estudia, en términos generales, dos tipos de problemas:

1. El primero es obtener la gráfica que corresponde a una ecuación dada.
2. El segundo tipo de problema consiste en determinar la ecuación del lugar geométrico, dadas la condición o condiciones geométricas que cumplen los puntos pertenecientes a ese lugar geométrico. Este segundo problema es el foco del presente estudio.

Definición de Lugar Geométrico

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen, al menos, una condición común a todos ellos o, dicho de otra forma, un punto que se mueve de tal manera que siempre cumple, al menos, una condición determinada.

Entre los lugares geométricos fundamentales se encuentran la recta, la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Históricamente, se previó el uso de la ecuación general de segundo grado con dos variables para describir todas las cónicas.

Ejemplos Detallados de Lugares Geométricos

1. Recta Vertical

   • Condición: Un punto se mueve de tal manera que está siempre dos unidades a la derecha del eje $Y$.
   • Expresión Algebraica: La condición que deben cumplir todos los puntos es tener una abscisa igual a dos.
   • Ecuación: $x=2$ o $x-2=0$.

2. Circunferencia (Definición por Centro y Radio)

   • Condición: Un punto se mueve de tal manera que está siempre a 3 unidades de distancia del punto $A(4, 5)$.
   • Expresión Algebraica: La distancia del punto $P(x, y)$ al punto $A$ es igual a 3 ($PA=3$).
   • Ecuación: $\sqrt{(x-4)^2+(y-5)^2}=3$. Elevando al cuadrado y simplificando se obtiene: $x^2+y^2-8x-10y+32=0$.

3. Recta (Lugar Geométrico de la Mediatriz)

   • Condición: Un punto se mueve de tal manera que está siempre a la misma distancia del punto $A(1, 2)$ que del punto $B(7, 4)$.
   • Expresión Algebraica: $AP=PB$.

4. Parábola

   • Condición: Un punto se mueve de tal manera que está siempre a la misma distancia del punto $F(6, 0)$ (foco) que del eje $Y$ (directriz, $x=0$).
   • Expresión Algebraica: $PF=x$ (donde $x$ es la distancia al eje $Y$).
   • Ecuación: $\sqrt{(x-6)^2+(y-0)^2}=x$. Al elevar al cuadrado y simplificar queda: $y^2-12x+36=0$.

5. Elipse

   • Condición: Un punto se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos $A(0, 9)$ y $B(0, -3)$ (focos) es igual a 10.
   • Expresión Algebraica: $AP+BP=10$.
   • Ecuación: El proceso de eliminar dos radicales, simplificar, y volver a elevar al cuadrado resulta en: $-25x^2-16y^2+400=0$. Multiplicando por $(-1)$ para ordenar la ecuación: $25x^2+16y^2-400=0$.

6. Circunferencia (Definición por Suma de Cuadrados)

   • Condición: La suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos $A(2, 3)$ y $B(6, 7)$ es igual a 100.
   • Expresión Algebraica: $PA^2+PB^2=100$.
   • Ecuación: $(x-2)^2+(y-3)^2 + (x-6)^2+(y-7)^2 = 100$. Al desarrollar y simplificar, se obtiene: $x^2+y^2-8x-10y-1=0$.

Otros Ejemplos de Lugares Geométricos

• Recta Horizontal

  Condición: Se mueve de tal manera que está siempre 5 unidades arriba del eje $X$.

  Ecuación: $y=5$.

• Circunferencia (Centrada en el Origen)

  Condición: Los puntos que están a 2 unidades del origen de las coordenadas.

  Ecuación: $x^2+y^2=4$.

• Línea Recta (Mediatriz)

  Condición: Se mueve de tal manera que está a la misma distancia del punto $L(-2, -3)$ que del punto $K(3, 1)$.

  Expresión Algebraica: $AP=PB$.

• Circunferencia

  Condición: Se mueve de tal manera que está a 6 unidades de distancia del punto $C(-2, 3)$.

  Ecuación: $\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2}=6$ o $(x+2)^2+(y-3)^2=36$.

• Parábola

  Condición: Se mueve de tal manera que está siempre a la misma distancia del punto $A(5, 4)$ que del eje $X$.

  Ecuación: $x^2-10x-8y+41=0$.

• Elipse

  Condición: La suma de sus distancias a los puntos $J(2, 0)$ y $K(-2, 0)$ es igual a 6.

  Expresión Algebraica: $AP+BP=6$.

• Hipérbola

  Condición: El valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los puntos $A(3, 0)$ y $B(-3, 0)$ es igual a 4.

  Ecuación: $x^2/4 - y^2/5 = 1$.