Detección de Heterocedasticidad y Autocorrelación en Modelos Econométricos

El Contraste de White

El contraste de White es un test general de heterocedasticidad que permite detectar si la varianza condicional del error, Var(u_t | X_1t, X_2t, X_3t), es constante o depende de los regresores (incluyendo posibles relaciones no lineales). Es un contraste no paramétrico en el sentido de que no impone una forma funcional específica para la heterocedasticidad.

La idea fundamental consiste en:

• a) Estimar el modelo por MCO y obtener los residuos û_t.
• b) Regresar û²_t sobre los regresores, sus cuadrados y productos cruzados (regresión auxiliar).
• c) Usar el estadístico LM = nR² (siendo R² el de la auxiliar) para contrastar la homocedasticidad.

2. Realización del Contraste de White

Considerando los valores R²_e = 0,42 y n = 100:

• Paso 1: Estimar el modelo original por MCO y obtener los residuos û_t.
• Paso 2: Estimar la regresión auxiliar de White:
  û²_t = α₀ + α₁X_1t + α₂X_2t + α₃X²_1t + α₄X²_2t + α₅(X_1tX_2t) + v_t.

Hipótesis en la auxiliar:

• H₀: α₁ = α₂ = α₃ = α₄ = α₅ = 0
• H₁: ∃j ∈ {1, ..., 5} : α_j ≠ 0

• Paso 3: El estadístico LM de White es:
  LM = nR²_e = 100 · 0,42 = 42.

Bajo H₀, asintóticamente: LM = nR²_e ∼ χ²(q), donde q = 5 es el número de regresores en la auxiliar excluyendo la constante (X_1t, X_2t, X²_1t, X²_2t, X_1tX_2t).

Decisión (al 5 %):

El valor crítico es χ²_{5, 0,95} = 11,07. Como 42 > 11,07, se rechaza H₀ y se concluye que existe evidencia de heterocedasticidad.

3. Cómo proceder con Mínimos Cuadrados Ponderados (MCP)

Se supone que Var(u_t | X) = σ²h_t, con h_t > 0. En este caso, el estimador eficiente es Mínimos Cuadrados Ponderados, utilizando pesos inversamente proporcionales a la desviación típica del error.

Paso 1: Elección de pesos

Se utilizan pesos inversamente proporcionales a la desviación típica del error. Como √Var(u_t | X) = √(σ²h_t) = σ√h_t, tomamos (ignorando la constante σ):

w_t = 1 / √h_t ⇒ w²_t = 1 / h_t

Paso 2: Transformación del modelo

Multiplicamos la ecuación por w_t:
w_tY_t = β₀w_t + β₁w_tX_1t + β₂w_tX_2t + w_tu_t

Definimos las variables transformadas:
Y*_t = w_tY_t, X*_1t = w_tX_1t, X*_2t = w_tX_2t, u*_t = w_tu_t, y obtenemos el modelo transformado:
Y*_t = β₀w_t + β₁X*_1t + β₂X*_2t + u*_t.

Paso 3: Varianza del error transformado

Usando Var(u_t | X) = E(u²_t | X) - (E(u_t | X))² y suponiendo E(u_t | X) = 0:

• E(u*_t | X) = E(w_tu_t | X) = w_tE(u_t | X) = 0
• Var(u*_t | X) = E((u*_t)² | X) - (E[u*_t | X])² = E(w²_tu²_t | X) = w²_tE(u²_t | X)

Como E(u_t | X) = 0, se tiene E(u²_t | X) = Var(u_t | X) = σ²h_t, luego:
Var(u*_t | X) = w²_tσ²h_t = (1 / h_t) σ²h_t = σ², que es constante. Por tanto, el modelo transformado es homocedástico.

Interpretación de los Coeficientes

• Constante (β₁ = 4,8127): Representa el consumo real esperado cuando Y_Dt = 0 y r_t = 0 (interpretación mecánica).
• Renta disponible (β₂ = 0,6534): Manteniendo constante r_t, un aumento de una unidad en Y_Dt incrementa el consumo real esperado en 0,6534 unidades, en promedio.
• Tipo de interés real (β₃ = -0,0978): Manteniendo constante Y_Dt, un aumento de una unidad en r_t reduce el consumo real esperado en 0,0978 unidades, en promedio.
• Bondad de ajuste: El R² = 0,7421 indica que el modelo explica aproximadamente el 74,21 % de la variabilidad muestral del consumo real C_t.

Contraste de Autocorrelación

Utilizando ρ y SE(ρ), se quiere contrastar la autocorrelación de primer orden entre u_t y u_t-1.

Hipótesis:

• H₀: ρ = 0 (no existe autocorrelación de primer orden).
• H₁: ρ ≠ 0 (existe autocorrelación de primer orden).

Estadístico de contraste:

t = (ρ - 0) / SE(ρ)

Sustituyendo los valores: t = 0,4125 / 0,5125 = 0,8049 ≈ 0,805.

Regla de decisión:

Para un nivel de significación del 5 % bilateral (aproximación normal), se rechaza H₀ si |t| > 1,96.

Como |t| = 0,805 < 1,96, no se rechaza H₀. Por tanto, a un nivel del 5 % no hay evidencia estadística suficiente para concluir que existe autocorrelación de primer orden en los errores.