Desarrollo del Sentido Numérico y Geométrico: Conceptos y Actividades

Sentido Numérico

El sentido numérico implica reconocer cómo y cuándo usar los números. Los números son datos que cuantifican hechos y aportan precisión al hacer una descripción para transmitir información. Según el tipo de información que se quiere aportar, será adecuada o no su utilización. Por ejemplo, en la narración de un paisaje se puede hacer alusión al número de visitantes, porcentajes sobre su procedencia o la comparación entre los visitantes entre diferentes años.

Componentes clave del sentido numérico:

• Detectar y usar relaciones numéricas: Utilizar hechos numéricos que, modificados y adaptados, ayudan a obtener un resultado buscado. Ejemplo: el doble de 7 es 14, el doble de 8 es 16 o para determinar la suma de dos números consecutivos 7+8 es el doble de 7 y uno más o el doble de 8 y uno menos, por tanto 15.
• Percibir la magnitud de los números: Esto es, entender lo "grande" que es un número (a veces se utiliza la palabra numerosidad). Tener percepción de la magnitud de los números permite hacer juicios cuantitativos ajustados sobre resultados de operaciones, analizar cantidades y hacer inferencias y estimaciones acerca de valores numéricos. Ejemplo: para números grandes lo podemos asociar con la compra de un coche o de una vivienda.
• Realizar cálculos numéricos por procedimientos diferentes: Se trata de la posibilidad de realizar cálculos numéricos por procedimientos diferentes a los usuales para una expresión. Ejemplo: calcular el producto 25 * 48, además de utilizar el algoritmo usual del cálculo también se puede utilizar otro procedimiento 25 x 48 = 100/4 x 48 = 100 x 12 = 1200.
• Conocer distintas representaciones de los números y usar la más adecuada: Conlleva la posibilidad de pasar, con seguridad y acierto, de una a otra entre las diferentes representaciones de un mismo concepto numérico, reconocer cuándo una representación es más útil que otra y utilizarla. Ejemplo: representar el número 21 de múltiples formas como 2x10+1 o como suma de dos números consecutivos, 10+11 o como producto de dos números 2x5+11 y como suma de los seis primeros números 1+2+3+4+5+6. Para las fracciones son el modelo de área, la recta numérica o número decimal. Ejemplo: para comparar las fracciones 2/5 y 3/7 para saber cuál es el mayor mediante un modelo de área puede ser engañoso, por lo que habría que hacerlo por una representación decimal para saber con mayor exactitud cuál es mayor, 2/5=0,4 y 3/7=0,428.
• Tomar el procedimiento más sencillo entre varios posibles: (distintas formas de sacar fracciones equivalentes, o de sacar mismo denominadores o numeradores y denominadores) se refiere a la habilidad de pensar sobre retos cuantitativos de diversas formas y tomar en cada ocasión la que resulte más favorable. Ejemplo: ante la suma 5/6 y 7/12 hay varias formas de transformarlas en otra equivalentes con el mismo denominador, puede hacerse multiplicando denominador y numerador por el mismo número 5/6 por 2, llegando a la suma 10/12 + 7/12. También puede hacerse por el procedimiento de multiplicar en cruz las fracciones, para obtener los numeradores, y multiplicando los denominadores de las mismas entre sí para obtener el denominador común (5/6 + 7/12 = 5x12/6x12 + 7x6/12x6 = 60/72 + 42/72 o sacando el denominador común (factores comunes y no comunes al mayor exponente).
• Hacer uso de algoritmos diferentes. Ejemplo: a la resta 357 - 183 sumarle tanto al minuendo como al sustraendo el mismo número que será +20 dando 377 - 203 resultado 174 el mismo que la resta anterior. Para el algoritmo de la suma por ejemplo 3/5 por el doble 6/10 + 1/2 por cinco 5/10 = 6/10 + 5/10 = 11/10.
• Aceptar diferentes estrategias para resolver un problema aritmético: Los problemas se etiquetan según la estrategia asociada al contenido matemático que los puede resolver, problemas de suma, de producto, combinatoria... Los problemas se pueden resolver por varios procedimientos.

Probabilidad y Estadística

• Identificación de situaciones aleatorias: Distinguir entre fenómenos determinados y aleatorios. Por ejemplo “El sol saldrá mañana”; “La piedra se hundirá si la lanzo al agua” frente a “Me tocará la lotería este año”. Emplear adecuadamente los términos probabilísticos informales “imposible”, “posible”, “muy posible” y “seguro”.
• Cuantificación de la incertidumbre: Sustituir la escala cualitativa de incertidumbre por cuantificación de la posibilidad de que ocurra o no un suceso. Mediante repeticiones sucesivas de un experimento se puede obtener información acerca de la mayor o menor posibilidad de que un resultado ocurra (definición frecuencial de probabilidad), aunque también se ha de manejar la regla de Laplace y emplearla cuando sea apropiado.
• Buscar y obtener datos: Es independiente de su posterior organización. Este proceso ha de contextualizarse en el entorno próximo al estudiante, por lo que hay que detectar previamente los intereses del alumnado. Por ejemplo, obtener medidas de magnitudes (peso, altura, longitudes de sombra), datos de programas de televisión, datos deportivos, etc.
• Resumen y síntesis de la información: Implica conocer las diversas formas de organizar los datos recogidos (gráficos de barras, tablas, diagramas de sectores, pictogramas, etc.) y las medidas y cálculos que se pueden realizar con ellos (medias, moda, frecuencias absolutas y relativas) y realizar inferencias sencillas.

Actividad sobre Probabilidad

Tienes una moneda que lanzas 10 veces y vas anotando los resultados como una sucesión de caras (a) y cruces (b) (abbbaabbbb) por ejemplo. ¿Te atreverías a pronosticar lo que saldría la siguiente?

Enfoques en la Enseñanza de las Matemáticas

• Enfoque instrumental o tecnológico: Centrado en el dominio y uso de hechos, destrezas y conceptos básicos, que se toman como herramientas. En él se considera los hechos, destrezas y conceptos matemáticos básicos como piezas centrales del aprendizaje, las definiciones deben estar incorporadas a la memoria de todos los escolares y las reglas y rutinas operatorias se deben ejecutar con la mayor rapidez y precisión posibles. En este enfoque las expectativas se vinculan con contenidos matemáticos concretos, exhaustivos y detallados, que se enumeran por medio de objetivos específicos, muchas veces operativos.
• Enfoque estructural o técnico: Donde el conocimiento se presenta como un sistema estructurado de reglas y conceptos, formalizado y basado en la deducción. En este enfoque cualquier tema de matemáticas admite una organización, un tratamiento y un desarrollo basado en estructuras y el consiguiente razonamiento formal, derivando la resolución de problemas a la práctica de ejercicios de aplicación de los conceptos estudiados.
• Enfoque funcional o aplicado: Para un estudiante de matemáticas, lo importante al concluir su periodo de formación será tener un dominio y uso práctico de los contenidos matemáticos para dar respuesta a las cuestiones personales y sociales que se le planteen. Este enfoque centra el aprendizaje en cómo los escolares pueden utilizar los conceptos y procedimientos matemáticos en situaciones usuales de la vida cotidiana, no solo, ni preferentemente, en el dominio puramente formal y técnico de definiciones y algoritmos. El énfasis principal está en el conocimiento matemático que se moviliza y se pone en funcionamiento ante una diversidad de tareas y en una variedad de contextos diferentes por medio reflexivos, variados y basados en la actitud personal, es decir, muestra el progreso y desarrollo de competencias y capacidades cognitivas.

Aprendizaje Constructivista de las Matemáticas

Qué es Aprender: Construir múltiples significados hasta llegar a generar conocimiento estructurado (red que relacione problemas, procedimientos, elementos, expresiones...).

Marco Socioconstructivista - Cómo Aprender:

1. De manera activa, elaborando significados y atribuyendo sentidos.
2. Mediante interacción, negociación y comunicación (argumentación) con otros, en contextos particulares. Proponer, razonar y debatir, evaluar la validez.
3. A partir de conocimientos previos e informales, experiencias previas.
4. En situaciones que le den sentido, matemáticamente ricas.

Implicaciones para la Enseñanza:

1. Construir significados y atribuyendo sentidos.
2. Favoreciendo interacción en clase:
   • Proponer/conjeturar
   • Razonar, debatir
   • Evaluar la validez
3. Introduciendo tareas significativas (basadas en ideas previas e informales), para profundizarlas. Matemáticamente rico.
4. Mediante resolución de problemas que le den sentido.

Medición y Estimación

• Reconocimiento de cualidades comparables y medibles: Los objetos tienen multitud de cualidades o atributos observables: longitud, capacidad, masa, rugosidad, dureza y muchos otros. Esta comparación de los objetos mediante atributos permite ordenarlos de modo creciente y decreciente, de mayor a menor de esa cualidad. Las comparaciones ayudan a encontrar objetos que coinciden por su valor en ese atributo, tienen la misma cantidad de longitud, ya sean igual de largos, misma cantidad de peso, misma superficie entre los objetos. Equivalencia de objeto de acuerdo con una cualidad. Cantidad de magnitud: es un valor en el que coinciden distintos objetos de igual longitud o que pesan igual, o de igual extensión. (cualidad - magnitud, valores - cantidades).
• Comprensión del proceso del medir: Seleccionar la unidad apropiada para medir el peso o una determinada distancia. La medida de una cantidad consta de la unidad de medida y del número de veces que la cantidad contiene a esa unidad.
• La medida por iteración y contar: Implica que una vez identificado el atributo a medir y escogida la unidad a utilizar se reitera la unidad hasta igualar el objeto a medir y se cuenta el número de unidades utilizadas. El número resultante junto con la unidad utilizada, es la medida de la cantidad. Para medir una cantidad se agrega la unidad, tantas veces como sea necesario, para obtener el tamaño de la cantidad y la medida es el número de unidades utilizadas. Teniendo en cuenta los instrumentos de medida: regla, cintas, escalas...
• Desarrollo de estrategias para estimar: La unidad que se va a utilizar, el conocimiento de la relación entre esa unidad y otros objetos o unidades familiares, el conocimiento de la medida de objetos del entorno e interés por realizar estimaciones lo más precisas posibles y se emplean tres estrategias: referentes, trocear y fraccionar.

Actividad sobre Medición

Un alumno calcula la distancia que hay desde su casa hasta el centro escolar sabiendo que es 1 km. ¿Cuánto será en centímetros? El alumno identifica la unidad y el atributo que quiere medir y para llegar a esta solución a través de una cinta marcando con señales cada 100 metros y reitera la unidad 10 veces más hasta llegar a 1 km.

Actividad sobre Estimación

Para estimar la capacidad de una jarra puede dividir su contenido en vasos llenos de 250 ml cada uno, y trabajar con el número de vasos llenos para estimar la capacidad total de la jarra.

Actividad sobre Ordenación por Capacidad

Para ordenar tres recipientes A, B y C por su capacidad, comparan A con B y A con C. A es el mayor en ambos casos, sin plantearse la relación existente entre B y C, concluyen que el orden correcto es A>B>C, cuando solo puede concluirse que A es el mayor.

Geometría

• Manejo de conceptos geométricos: conocer propiedades de formas y figuras: Incluye identificarlas a través del nombre, la definición y diversas representaciones, definirlas, construirlas, caracterizarlas, identificar diversas caracterizaciones del cuadrilátero regular con lados iguales, y ángulos rectos.
• Tipos de ángulos: Rectos, agudo menos de 90º, obtuso más de 90º pero menos de 180º, ángulo llano 180º, ángulo reflejo o cóncavo ángulo de más de 180º.
• Congruentes: Si tienen ángulos iguales y lados iguales y el mismo tamaño.
• Líneas: Perpendiculares, que se cortan en un punto medio. Tipos de rectas: secantes se cortan dos líneas en un mismo punto, perpendiculares se cortan dos líneas rectas formando un ángulo de 90º.
• Reconocer relaciones geométricas: Implica conocer criterios para clasificar las formas y cuerpos geométricos e identificar regularidades. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Posibilidad de reconstruir un cuadrado a partir de un lado o de su diagonal. Obtener figuras que tienen el mismo área y diferente perímetro, y viceversa, simetrías igualdad, equivalencia.
• Conocer los movimientos en el plano y sus propiedades, ubicación y los movimientos: Los movimientos básicos son las traslaciones, giros y simetrías. También involucra identificar figuras que no se alteran al aplicarles tales movimientos. Disponer de referentes para situar elementos en el plano y en el espacio, conocer y saber llevar a cabo los movimientos. Detectar regularidades o los elementos que resultan invariantes al moverlos.
• Destrezas de visualización:
  • Orientación: Identificar de qué forma están colocados los objetos en el espacio y crear una representación mental de la configuración espacial. Reconocer las posiciones relativas de encima-debajo, izquierda-derecha, delante y atrás. Se manifiesta cuando nos guiamos en una ciudad desconocida a partir de un mapa o cuando damos direcciones a turistas.
  • Visualización: Implica disponer de una variedad amplia de imágenes de formas, cuerpos y figuras geométricas para poder razonar sobre ellos. Por ejemplo, identificar las caras opuestas en el desarrollo plano de un dado implica manipularlo en la mente para ver el modo de plegado y conexión de las caras.

Fórmulas de Áreas y Perímetros

• Polígono convexo: Todos son regulares (ángulos menores de 180 y diagonales en su interior y sus vértices apuntan hacia el exterior).
• Cuadrado: (lado al cuadrado).
• Rectángulo: (base x altura).
• Rombo: (Diagonal mayor x diagonal menor / 2).
• Romboide o paralelogramo: (base x altura (h)).
• Trapecio: (base mayor + base menor x altura (h) / 2).
• Polígono regular: (pentágono, hexágono...) perímetro número de lados por la medida del lado y el área perímetro x apotema / 2 y de cada lado del polígono lado x apotema / 2.
• Teorema de Pitágoras: (sacar la longitud de uno de los lados del triángulo rectángulo (h al cuadrado más b (cateto al cuadrado y c al cuadrado)).
• Triángulo: (base x altura / 2).
• Círculo: (π x radio al cuadrado).

Actividad con Geoplano Isométrico y Ortogonal

Dibujar los polígonos que se puedan:

• Elementos geométricos (definición y características de cuadrado).
• Relaciones (razones geométricas de igualdad de longitudes).
• Ubicación (identificar posiciones).
• Apreciar la igualdad y diferencia de longitudes (visualización).
• Elementos geométricos (definición y características triángulo equilátero).
• Relaciones (razones geométricas de igualdad longitud).
• Ubicación (posiciones).
• Apreciar igualdad y diferencia de longitudes (visualización).

Actividad sobre Operaciones

Indica justificadamente en qué forma presentarlas a los escolares (horizontalmente, verticalmente o ambas) las siguientes operaciones:

1. Veintitrés más cuarenta y cinco.
2. Siete más nueve.
3. Trescientos cincuenta y cuatro por diez.
4. Trescientos cuarenta dividido entre veinte.
5. Seiscientos cuarenta y tres más doscientos treinta y cuatro.

Actividad sobre Combinaciones

Tito ha comprado tres bloques de helado, uno de fresa, otro de chocolate y otro de limón. Quiere helados de dos sabores. ¿Cuántos helados diferentes de dos sabores puede hacer Tito?

Resolver mediante:

1. Realizando un esquema en el que cada línea representa un sabor -limón, chocolate, -fresa, limón, chocolate, chocolate, -fresa.
2. Con una tabla donde los cuadros sombreados representan los hechos posibles.
3. Realizando el producto 3x2 y dividiendo el resultado obtenido por 2, consecuencia de aplicar la fórmula que permite el cálculo de las combinaciones de tres elementos tomados de dos en dos.