Desarrollo del Pensamiento Geométrico: Niveles, Relaciones Espaciales y Currículo Educativo

Posición y Orientación Espacial

El espacio abstracto se ordena en tres direcciones fundamentales:

• Arriba-Abajo: Relacionado con posturas y verticalidad.
• Lejos-Cerca: Relacionado con objetos fuera o al alcance de la mano.
• Izquierda-Derecha: Relacionado con el desarrollo del esquema corporal.

Relaciones Espaciales (Según Piaget)

El reconocimiento y la organización de estas relaciones preceden en varios años a la capacidad de reproducción y representación. Esta última se desarrolla al tiempo que la función simbólica.

1. Topológicas: Basadas en la proximidad, separación, orden y continuidad.
2. Métricas: Basadas en la medida y la distancia.
3. Proyectivas: Basadas en la perspectiva y la relación entre objetos.

Niveles de Pensamiento Geométrico de Van Hiele

El modelo de Van Hiele describe las etapas por las que pasa un estudiante en su comprensión de la geometría.

1. Visualización (Nivel 0)

   Se distinguen las figuras por sus formas individuales como un todo. El niño no es capaz de ver que el cuadrado es un tipo de rombo; para él, son formas aisladas y distintas.

2. Informal (Nivel 1)

   El alumno empieza a desarrollar una observación informal de las propiedades de las figuras. Empieza a tomar conciencia de que las figuras constan de partes. Aún no es capaz de: ver la relación entre propiedades y figuras, no contempla el rombo como paralelogramo particular, ni elabora ni entiende definiciones.

3. Deducción Informal u Ordenación (Nivel 2)

   El alumno ordena lógicamente las propiedades de los conceptos. El cuadrado se ve ya como caso particular del rectángulo. No comprende el significado de la deducción ni el papel de los axiomas, ni entiende cómo construir una demostración partiendo de diferentes premisas.

4. Deducción Formal (Nivel 3)

   El alumno razona con términos indefinidos, axiomas, definiciones y teoremas. Se desarrolla el razonamiento deductivo y la construcción de teorías.

5. Rigor (Nivel 4)

   El alumno puede comparar sistemas basados en axiomáticas y puede estudiar distintas geometrías en ausencia de modelos completos. Es un nivel inalcanzable para un alumno de secundaria.

Ideas Geométricas Fundamentales

La geometría es el estudio de las propiedades de los sólidos, de las superficies, de las líneas y de los puntos, así como las relaciones entre estos y las transformaciones a que pueden someterse.

1. Geometría Euclídea

   Estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariables al aplicarles desplazamientos.

2. Geometría Topológica

   Estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariables al aplicarles transformaciones topológicas (independientes de la orientación, situación o distancia).

3. Geometría Proyectiva

   Estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariables por proyección a partir de un foco luminoso.

Deficiencias en la Enseñanza de la Geometría en Educación Primaria

Se han identificado diversas carencias en la aproximación curricular y didáctica de la geometría en esta etapa:

• Poca utilización de métodos de razonamiento propios, como el inductivo o el deductivo.
• Predominancia de una geometría métrica aritmetizada.
• Olvido de otros tipos de geometría.
• Ausencia de generalización.
• Inexistencia de clasificaciones a nivel de figuras elementales.
• Remoto estudio de relaciones intra e interfigurales entre los elementos geométricos.

Causas de las Carencias Didácticas

• Indeterminación del currículum de Matemáticas de Primaria en el planteamiento de la Geometría.
• Las editoriales imponen en sus textos una transposición didáctica reduccionista.
• Excesivo seguimiento de los libros de texto por parte de los docentes.
• Ausencia de materiales específicos para la construcción de conceptos geométricos.
• El brusco cambio que se produce en el tránsito de la Educación Infantil a la Primaria.

Propuestas Didácticas para la Geometría

• Fomentar la Geometría Dinámica.
• Promover la Geometría inter e intrafigural.
• Implementar una Geometría que tenga en cuenta el carácter deductivo, pero también el inductivo.
• Diseñar una Geometría que proponga procesos de construcción, reproducción, representación y designación de los elementos geométricos.
• Construir la Geometría a partir de la iconización.

Bloques Curriculares de Matemáticas por Etapa Educativa

Educación Infantil

1. Actividades Lógicas

   • Simbolización.
   • Clasificación y ordenación.
   • Estudio de regularidades.

2. El Número Natural

   • Número cardinal.
   • Número ordinal.

3. Iniciación a la Medida

   • Iniciación a la medida de longitud.
   • Iniciación a la medida de tiempo.
   • Iniciación a la medida de capacidad.
   • Iniciación a la medida de peso.
   • Iniciación a la medida de superficie.

4. Conocimientos Espaciales y Geométricos

   • Posiciones relativas de los objetos en el espacio.
   • Desplazamientos orientados.
   • Estudio de formas geométricas planas.
   • Estudio de formas geométricas tridimensionales.

Educación Primaria

1. Números y Operaciones.
2. Medida de Magnitudes.
3. Espacio y Geometría / Tratamiento de la Información (Estadística).
4. Azar y Probabilidad.

Educación Secundaria Obligatoria (ESO)

1. Contenidos Comunes.
2. Números.
3. Álgebra.
4. Geometría.
5. Funciones y Gráficas.
6. Estadística y Probabilidad.