Desarrollo del Pensamiento Geométrico: Niveles de Van Hiele y Conceptos Fundamentales

Niveles de Van Hiele para el Desarrollo del Pensamiento Geométrico

Primer Nivel: El Reconocimiento (Visualización)

La percepción visual de las figuras geométricas, la visualización, quizás sea el primer contacto de los alumnos con las figuras geométricas y, por tanto, es una apreciación sensorial del concepto que representan. En esta primera visualización, los alumnos perciben las figuras geométricas de manera global, se fijan en el color, en la forma, en el tamaño y las identifican con el nombre.

Por ejemplo, las figuras que se presentan las identificarían con la palabra pentágono. En este primer estadio, los alumnos perciben las figuras como objetos individuales, como un todo, y es fácil que solo reconozcan la forma y el tamaño. En la transición hacia el siguiente nivel, comenzarían a reconocer los elementos de las figuras (ángulos, lados, caras, etc.).

Segundo Nivel: El Análisis

En este segundo nivel, los estudiantes ya reconocen propiedades elementales que aparecen reflejadas en la forma de las figuras de forma aislada y, por tanto, pueden dar una definición descriptiva del concepto basada en la representación de las figuras.

Ahora pueden reconocer que en una figura aparecen representados conceptos que se han estudiado de forma aislada. Por ejemplo, pueden reconocer que un rectángulo tiene los lados opuestos paralelos dos a dos, que los lados contiguos son perpendiculares y que los ángulos interiores son rectos. Es decir, los alumnos perciben y se dan cuenta de que los conceptos de paralelismo, perpendicularidad y ángulo recto están implícitos en la figura rectángulo, pero no establecen ninguna relación deductiva entre el paralelismo y la perpendicularidad de los lados.

Tercer Nivel: Clasificaciones y Formulaciones (Relación)

En este nivel empieza el razonamiento formal (abstracto) de los alumnos y comienzan a darse cuenta del aspecto deductivo de las matemáticas. Aunque sus razonamientos sigan apoyándose en manipulaciones y visualizaciones directas, y aunque tengan una dependencia de imágenes sensoriales, pueden entender que algunas propiedades se pueden deducir de otras conocidas de antemano.

Los estudiantes pueden abstraer las propiedades implícitas en la descripción de una figura y dar una definición correcta de la misma a partir de sus propiedades. Además, pueden apreciar la diferencia entre definición y descripción y valorar la importancia del uso de definiciones conceptuales y de las formulaciones.

Cuarto Nivel: Las Deducciones Formales (Deducción)

Los alumnos que han llegado a este nivel de desarrollo cognitivo podrían entender y realizar demostraciones de varios pasos, dar definiciones precisas tras un proceso de síntesis y escribir con precisión el enunciado de una propiedad que se ha demostrado, sin que se hubiera formulado previamente.

Ahora ya están en condiciones de aplicar definiciones o propiedades establecidas previamente en otras situaciones para deducir otras propiedades. Por ejemplo, pueden demostrar el teorema de la altura aplicando el teorema de Tales.

Conceptos Fundamentales de Geometría Plana

La Circunferencia y el Círculo

Una circunferencia es una línea cerrada y plana cuyos puntos equidistan de uno fijo que se denomina centro. El segmento que une uno cualquiera de sus puntos con el centro se denomina radio.

Triángulos: Clasificación

Clasificación atendiendo a sus lados:

• Un triángulo con los tres lados iguales se denomina triángulo equilátero.
• Un triángulo con dos lados iguales y el tercero desigual se denomina triángulo isósceles.
• Un triángulo con los tres lados desiguales se denomina triángulo escaleno.

Clasificación atendiendo a sus ángulos:

• Un triángulo con los tres ángulos agudos (menor que un recto) se denomina triángulo acutángulo.
• Un triángulo con un ángulo recto se denomina triángulo rectángulo.
• Un triángulo con un ángulo obtuso (mayor que un recto) se denomina triángulo obtusángulo.

Definiciones Geométricas Básicas

• Cuadrilátero: Es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro vértices, independientemente de su forma (Rombo, trapecio, rectángulo, cuadrado, trapezoide, etc.).
• Mediatriz: Es la recta perpendicular a un lado en su punto medio.
• Bisectriz: Es la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
• Incentro: Es el punto en común que tienen las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo y, por tanto, está a la misma distancia de los tres lados.
• Ortocentro: Es el punto en común donde se cortan las tres rectas que contienen a las alturas del triángulo.
• Baricentro: Es el punto en común en el cual se cortan las tres medianas que tiene un triángulo.