Desarrollo Numérico y Resolución de Problemas Aritméticos en Niños

Niveles de Desarrollo en Aritmética

Nivel 1 - Modelación Directa

En el nivel 1, los niños dan soluciones de modelación directa utilizando objetos concretos. Resuelven problemas de Cambio-Unir (incógnita cantidad final) y parte-parte-todo (incógnita todo) utilizando la estrategia de contar todo, y los problemas de cambio-separar (incógnita cantidad final) utilizando la estrategia de separar desde. Los problemas que no se pueden modelar (cantidad inicial incógnita) no pueden ser resueltos por estos niños. No tienen éxito de manera uniforme en resolver todos los problemas que pueden ser modelados; solo 1/3 de los niños resuelven problemas de comparar (incógnita diferencia). Si la redacción del problema muestra la estructura claramente, podrían resolverlo.

Nivel 2 - Transición al Uso de Estrategias de Contar

Este es un periodo de transición. Utilizan tanto estrategias de modelación directa como procedimientos de contar. Los niños utilizan todas las estrategias de adición (contar todo, contar desde el primer sumando y contar desde el más grande), además de unir hasta y contar hacia delante. Contar hacia atrás se utiliza con menos frecuencia. Tienen alguna flexibilidad entre el uso de estrategias de modelación directa o de contar. La estructura de problemas cambio-separar (incógnita cantidad final) y cambio unir (incógnita cambio) continúan dominando las soluciones de los niños, pero en este nivel resuelven problemas de comparar tanto utilizando emparejar como contar hacia delante.

Nivel 3 - Estrategias de Contar

Se apoyan en las estrategias de contar, aunque ocasionalmente utilizan modelación directa con objetos. Usan contar desde el más grande, pero algunos continúan utilizando contar hacia delante. Pueden utilizar contar hacia atrás, aunque muchos no la utilicen de manera consistente. Pueden representar problemas para resolverlos, problemas en los que la incógnita es la cantidad inicial. También resuelven problemas de comparar (diferencia incógnita) utilizando estrategias de contar hacia delante o contar hacia atrás. Aprenden que los problemas de suma y resta pueden ser vistos en términos de parte de un todo.

Nivel 4 - Hechos Numéricos

Pueden resolver problemas de sumar y restar utilizando hechos numéricos. Los hechos numéricos no se aprenden todos a la vez y no todos los niños los utilizan de manera consistente. Este nivel está formado por 2 subniveles:

• 4a: No todos los hechos se conocen y utilizan hechos derivados para muchas combinaciones.
• 4b: Los niños los han memorizado y los recuerdan inmediatamente.

Problemas Aritméticos y Modelos

Modelos Implícitos

Cada operación aritmética está vinculada a un modelo implícito. Identificar la operación necesaria para resolver un problema con dos datos no se realiza directamente, sino que la elección está influida por estos modelos. Esto impone sus propias condiciones al proceso de búsqueda. Fischbein indica que el modelo primitivo asociado con la multiplicación es la idea de suma repetida: 3x7 puede verse como 7+7+7. Los problemas se dividen en dos clases: asimétricos y simétricos.

• Asimétricos: Dos factores de la multiplicación desempeñan papeles diferentes, multiplicador y multiplicando (grupos múltiples, medidas iteradas, rate, medida, precios, velocidad, cambio de divisas…).
• Simétricos: Dos factores se pueden intercambiar fácilmente (cálculo de área y algún tipo de combinación).

Análisis Dimensional

Schwartz se basa en la distinción entre cantidades extensivas (E) en las que el referente es una magnitud y en cantidades intensivas (I) en las que el referente es una razón entre dos cantidades.

Multiplicación IxE

La multiplicación de una cantidad intensiva por una cantidad extensiva es la categoría más común de problemas de multiplicar. Una suma repetida cuando al menos uno de los números, el número E, es natural. Problemas de Vergnaud isomorfismo.

Multiplicación ExE

Multiplicación cartesiana, multiplicación de dos cantidades extensivas E1 y E2 forma una tercera E3.

Multiplicación IxI

Una cantidad intensiva se multiplica por otra cantidad intensiva para obtener una tercera cantidad.

Usos del Número

Secuencia verbal, recuento, cardinal, medida, ordinal, códigos, el número como tecla.

Sistema de Numeración Decimal

Fase 1

Reconocen únicamente una descomposición en unidades y decenas (expresión canónica). Elaboración del esquema parte-todo aplicado a las unidades, decenas, centenas. Aspecto conceptual: ayuda a caracterizar la comprensión decimal de los números. Aspecto procedimental: definido por el uso del 10 como unidad iterativa. Contexto oral:

Fase 2

Reconocen múltiples composiciones de una cantidad (resta con llevada). Dos subfases:

• Las equivalencias entre las diferentes composiciones del número se establecen empíricamente desde los referentes concretos.
• Las equivalencias se establecen por la aplicación de los cambios que mantienen la equivalencia, la identificación de patrones o a través de productos de factores primos.

Fase 3

Aritmética formal, las propiedades anteriores se aplican a los números escritos para explicar por qué funcionan los algoritmos de las operaciones con los números naturales.

Fracciones

Fracciones Parte Todo

Cuando un todo se divide en partes congruentes. La fracción indica la relación que existe entre el número de partes y el total de partes (unidad). Esta relación depende directamente de la habilidad de dividir un objeto o trozo en partes iguales [dados U y f hallar R, dados U y R hallar f, dados R y f hallar U]. Contexto continuo (hacer círculo o rectángulo dividido). Contexto discreto: el todo formado por un conjunto global, por ejemplo, de 5 bolas.

Fracciones como Cociente

Se asocia la fracción a la operación de dividir un número natural por otro.

• A) División indicada: Interpretación de la fracción indicando una división entre 2 números naturales (3/5 = 3:5) aparece en un contexto de reparto.
• B) Considerar las fracciones como elementos de una estructura algebraica.

Fracción como Razón

No existe de forma natural una unidad como podría ocurrir en otros casos. Escalas. Probabilidad: la utilización en este contexto se le da un carácter de cálculo. Se establece una comparación todo-todo entre el conjunto de casos favorables y de casos posibles. Porcentajes: relación de proporcionalidad que se establece entre el número 100 recibe el nombre de porcentaje.

Fracciones y Operadores

Algo que actúa sobre una situación y la modifica. Si en un contexto tomamos como partida el conjunto formado por 36 niños de una clase, el efecto de la aplicación del operador 2/3 se puede representar por [36 niños - dividir por 3 multiplicar por 2 - 24 niños], el estado final también recibe el nombre de estado 3/3 como la descripción del estado de cosas.