Desarrollo Conceptual del Número en la Infancia

Los niños comienzan a trabajar el concepto de número desde los 2 años, pero no lo comprenden plenamente hasta alrededor de los 7 años. La experiencia de contar es clave para construir esta comprensión.

1. Desarrollo del Dominio de la Secuencia Numérica

Según Castro et al. (1987), los niños avanzan por 5 niveles en el dominio de la secuencia numérica:

1. Nivel cuerda: Recitan la secuencia empezando en 1, pero sin diferenciar bien los términos.
2. Nivel cuerda irrompible: Recitan desde 1 con términos ya diferenciados.
3. Nivel cadena rompible: Pueden empezar a contar desde cualquier número.
4. Nivel cadena numerable: Pueden contar $n$ términos desde un número inicial y dar el último como respuesta.
5. Nivel cadena bidireccional: Cuentan hacia adelante y hacia atrás desde cualquier número, cambiando de dirección cuando quieran.

2. Acto de Contar y Tipos de Número

• Número cardinal: Indica cuántos objetos hay (tamaño).
• Número ordinal: Indica la posición de un objeto en una serie ordenada.

3. Principios Necesarios para Comprender la Técnica de Contar

Para contar correctamente, se requieren los siguientes principios:

1. Abstracción: Contar cualquier tipo de colección.
2. Orden estable: Usar la secuencia numérica en el orden correcto.
3. Irrelevancia del orden: El cardinal no cambia aunque se cuenten los objetos en distinto orden.
4. Biunivocidad: Un número para cada objeto.
5. Cardinalidad: El último número dicho al contar es el cardinal del conjunto.

4. Construcción del Número Cardinal

Para responder correctamente a “¿cuántos hay?”, el niño debe lograr:

1. Pasar de contar a reconocer la cantidad (cardinar).
2. Entender que el cardinal es el resultado del conteo.
3. Integrar ambos significados: cada número dicho implica cantidad.
4. Comprender que el orden de conteo no afecta al cardinal.

5. Adquisición del Aspecto Ordinal

El número ordinal expresa posición relativa. Para aprenderlo, el niño debe entender que:

1. No vale la irrelevancia del orden: Hay que empezar a contar desde el primer elemento.
2. El orden es relativo: Ser “2º” depende del tamaño de la colección.
3. Añadir un objeto puede cambiar o no el orden, según dónde se coloque.

Introducción a las Operaciones Aritméticas

1. Primer Contacto con la Suma

• Los niños suelen usar la suma antes de que se les enseñe formalmente.
• La suma se introduce manipulativamente: dos grupos de objetos → contar cada grupo → juntarlos → contar el total.
• Es importante variar los objetos para evitar asociaciones erróneas.
• Cuando comprenden el proceso, se pasa a la representación en papel (horizontal y vertical).
• Se enseñan los términos: sumandos y resultado.

2. Destrezas Previas Necesarias Antes del Algoritmo de la Suma

1. Descomposición de números.
2. Composición y complementarios a 10.
3. Dominio de la cadena numérica.
4. Comprensión de decenas, centenas, millares.
5. Descomposición en unidades decimales.
6. Construcción y comprensión de la tabla de sumar.

3. Algoritmo de la Suma

• Se usa cuando hay dos o más cifras.
• Se trabaja por columnas del mismo orden (unidades con unidades, decenas con decenas…).
• La “columna activa” es la que se está sumando en cada paso.
• Se sigue un procedimiento sistemático para obtener el resultado.

4. Otras Ideas para Sumar

• Sumar desde el número mayor (en la recta numérica).
• Tabla de sumar (hasta 100).
• Dobles y emparejamientos.
• Compensación cuando se supera la decena.
• Cálculo mental mediante práctica.
• Sumar con los dedos como apoyo visual válido.

Propiedades de la Suma

• Elemento neutro: $0+n=n$.
• Conmutativa: $a+b=b+a$.
• Asociativa: $(a+b)+c=a+(b+c)$.

6. Primer Contacto con la Resta

• Más difícil que la suma porque depende de estrategias previas.
• Se introduce como acción de quitar, usando objetos.
• Se deben incluir casos donde ambos números son iguales → resultado 0.
• Se conocen las 55 combinaciones básicas de resta sin llevar.
• Luego se pasa al papel (palitos, dibujos…) y después a la notación formal.

7. Algoritmo de la Resta

Cuando hay varias cifras, se usa el algoritmo. Existen dos métodos:

a) Tomar Prestado

• Se transforma 1 unidad del orden superior en 10 unidades del orden actual.

b) Llevarse

• No se modifica el minuendo original:
  • Se añaden 10 unidades al minuendo y 1 unidad al sustraendo del orden superior.

8. Otras Ideas para Restar

1. Cadena numérica: contar hacia atrás.
2. Tabla de sumar: recorrerla en sentido inverso.
3. Traducir restas a sumas.
4. Cálculo mental y uso de dedos como apoyo inicial.

9. Propiedades de la Resta

• No es interna en los naturales: solo se puede restar si el minuendo $\ge$ sustraendo.
• No conmutativa: $a-b \neq b-a$.
• No asociativa.

Criterios de Divisibilidad

Divisibilidad por el Número 7

Regla Práctica

1. Toma la última cifra del número.
2. Dóblala (multiplícala por 2).
3. Réstala al número que queda al quitar esa última cifra.
4. Si el resultado es 0 o múltiplo de 7, el número original es divisible por 7.

Ejemplo con 203

• Última cifra: 3
• Doble: $3 \times 2 = 6$
• Número sin la última cifra: 20
• Resta: $20 - 6 = 14$
• 14 es múltiplo de 7 → 203 es divisible por 7

Divisibilidad por 11

Este criterio es muy útil y sorprendentemente sencillo.

Regla Práctica

1. Suma las cifras en posiciones alternas (pares e impares).
2. Resta ambas sumas.
3. Si el resultado es 0 o múltiplo de 11, el número es divisible por 11.

Ejemplo con 121

• Suma de posiciones impares: $1 + 1 = 2$
• Suma de posiciones pares: 2
• Resta: $2 - 2 = 0$ → sí es divisible por 11

La División en Forma de Fracción

La división en forma de fracción es una manera sencilla de mostrar que estamos dividiendo una cantidad entre otra, especialmente cuando el resultado no es un número entero. Una fracción representa siempre una división: el número de arriba (numerador) es lo que queremos dividir y el número de abajo (denominador) es entre cuánto lo dividimos. Por ejemplo, dividir 1 entre 4 se escribe como $\frac{1}{4}$, lo que significa que hemos repartido una unidad en cuatro partes iguales. Esta forma de escribir la división ayuda a los niños a entender mejor los repartos, las partes de un todo y las situaciones en las que la división no da un resultado exacto, permitiendo expresar cantidades intermedias de manera clara y visual.

Se trabaja en el aula con:

• Objetos reales como tapones, palillos, fichas, bloques…
• Preguntas como: “Haz grupos de 5. ¿Cuántos grupos te salen?”
• Dibujos: Dibujar círculos y meter dentro un número fijo de elementos.
• Rectas numéricas: Ir saltando de 4 en 4, de 5 en 5, etc., hasta llegar al número total.