Desarrollo y Aplicación del Polinomio de Taylor para Aproximación de Funciones

El Polinomio de Taylor: Generalización de la Aproximación Lineal

Contexto: De la Recta Tangente a la Aproximación Polinómica

En el apartado anterior vimos que, en el entorno de un punto, una función se puede aproximar por su recta tangente. Ahora vamos a generalizar esta información.

En concreto, para una función n-veces derivable en un punto a, hallaremos un polinomio de orden n que se parezca a la función en un entorno de dicho punto. Esto se logra exigiéndole que las n primeras derivadas de la función coincidan con las del polinomio. La recta tangente será el caso particular para n = 1.

Polinomio de Taylor

Definición Formal

• Definición: Sea f una función con derivadas hasta orden n en un punto a. Entonces, existe un único polinomio P(x) de grado menor o igual que n, que cumple las siguientes condiciones de coincidencia en el punto a:

Condiciones de Coincidencia de Derivadas

P(a) = f(a)
P'(a) = f'(a)
…
P⁽ⁿ⁾(a) = f⁽ⁿ⁾(a)

Este polinomio se denomina Polinomio de Taylor de orden n en el punto a, y viene dado por la siguiente expresión:

Fórmula Desarrollada del Polinomio de Taylor [15]

P(x) = f(a) + f'(a) · (x − a) + \frac{f''(a)}{2} (x − a)² + \frac{f'''(a)}{3!} (x − a)³ + ⋯ + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x − a)ⁿ

Fórmula Compacta (Notación de Sumatoria) [15.1]

P(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x − a)^k

Componentes Clave de la Fórmula

Donde:

• f^(k)(a) es la derivada k-ésima de la función f evaluada en x = a.
• k! es el factorial de k, siendo:

Valores del Factorial

• 0! = 1
• 1! = 1
• 2! = 2 · 1 = 2
• 3! = 3 · 2 · 1 = 6
• 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
• ...
• k! = k · (k − 1) · (k − 2) · … · 2 · 1

Comentarios Adicionales

• El polinomio de Taylor de orden 1 es, precisamente, la recta tangente.