Desafíos de Lógica y Razonamiento Matemático: Ejercicios Resueltos

Desafíos de Lógica y Razonamiento Matemático

1. Patrones Numéricos y Combinatoria

Combinaciones: Se identifican 120 combinaciones posibles. Para que los números en la cima sean más pequeños, los números en la esquina exterior deben ser más grandes. Inversamente, cuando los números en la cima son más grandes, los de la esquina son más pequeños.

Este patrón se observa al construir una secuencia de abajo hacia arriba, similar a la formación de coeficientes binomiales o el Triángulo de Pascal:

a, b, c, d, e

a+b, b+c, c+d, d+e

a+2b+c, b+2c+d, c+2d+e

a+3b+3c+d, b+3c+3d+e

a+4b+6c+4d+e

2. Problemas de Geometría y Propiedades Numéricas

2.1. Conteo de Cuadrados

¿Cuántos cuadrados se pueden formar uniendo todos los vértices con segmentos de recta? La respuesta aproximada es entre 64 y 66.

2.2. Propiedad de Productos Consecutivos

Al multiplicar números consecutivos, el último dígito del producto sigue un patrón específico:

• 1 × 2 = 2
• 2 × 3 = 6
• 3 × 4 = 12
• 4 × 5 = 20
• 5 × 6 = 30

Los últimos dígitos posibles para el producto de dos números consecutivos son 0, 2 y 6. Esto se debe a que el último dígito del producto depende únicamente de los últimos dígitos de los factores.

3. Acertijos de Lógica

3.1. El Misterio del Asesinato

En un caso de asesinato, se recogen las siguientes declaraciones:

• Juan: "Yo no sé quién lo mató."
• Raúl: "Juan miente." (Implica que Raúl es el único inocente)
• Nicolás: "Raúl miente."
• Pedro: "Raúl lo mató."

Este es un clásico acertijo de lógica donde solo una afirmación es verdadera. Si Raúl es el único inocente, entonces su afirmación "Juan miente" debe ser la verdadera. Si Juan miente, entonces él sí sabe quién lo mató. Si Raúl dice la verdad, entonces Nicolás miente y Pedro miente. Si Pedro miente, Raúl no lo mató. Esto es consistente con Raúl siendo inocente. Por lo tanto, la afirmación de Raúl es la verdadera, y él es el inocente.

3.2. Las Puertas de la Libertad

Un prisionero tiene la posibilidad de obtener su libertad si escoge una puerta adecuada entre tres dadas. En cada una de las puertas hay una inscripción, pero solo una de ellas es verdadera. Las inscripciones son:

1. Puerta 1: "Esta puerta conduce a la libertad."
2. Puerta 2: "Esta puerta no conduce a la libertad."
3. Puerta 3: "La puerta 1 no conduce a la libertad."

La puerta que el prisionero debe escoger para tener la certeza de alcanzar su libertad es: la puerta 2.

Explicación:

• Si la Puerta 1 fuera la verdadera, entonces la Puerta 1 conduce a la libertad. Pero la Puerta 3 diría "La puerta 1 no conduce a la libertad", lo cual sería falso. Y la Puerta 2 diría "Esta puerta no conduce a la libertad", lo cual también sería falso. Esto significaría que habría una verdadera y dos falsas, lo cual es consistente. Sin embargo, si la Puerta 1 conduce a la libertad, entonces la Puerta 3 es falsa, lo que significa que la Puerta 1 sí conduce a la libertad.
• Si la Puerta 2 fuera la verdadera, entonces la Puerta 2 no conduce a la libertad. Esto significa que la Puerta 1 conduce a la libertad (porque si no, la Puerta 3 sería verdadera, y tendríamos dos verdaderas). Si la Puerta 1 conduce a la libertad, entonces la Puerta 3 es falsa. Y la Puerta 2 es verdadera. Esto es consistente con solo una afirmación verdadera.
• Si la Puerta 3 fuera la verdadera, entonces la Puerta 1 no conduce a la libertad. Esto significa que la Puerta 1 es falsa. Si la Puerta 1 es falsa, entonces la Puerta 2 ("Esta puerta no conduce a la libertad") sería verdadera. Esto nos daría dos afirmaciones verdaderas (Puerta 2 y Puerta 3), lo cual contradice la premisa.

Por lo tanto, la única opción consistente es que la afirmación de la Puerta 2 sea la verdadera, lo que implica que la Puerta 2 no conduce a la libertad, y por ende, la Puerta 1 sí conduce a la libertad.

4. Problemas de Calendario y Tiempo

4.1. Cálculo de Días (Problema 1)

Siendo miércoles el pasado mañana de ayer, ¿qué día será el mañana del anteayer de pasado mañana?

Resolución:

• "Pasado mañana de ayer" se traduce como: Hoy + 2 días - 1 día = Hoy + 1 día.
• Si "Hoy + 1 día" es miércoles, entonces Hoy es martes.
• Ahora, calculamos "el mañana del anteayer de pasado mañana": Hoy + 1 día - 2 días + 2 días = Hoy + 1 día.
• Si Hoy es martes, entonces "Hoy + 1 día" es miércoles.

Respuesta: El día será miércoles.

4.2. Cálculo de Días (Problema 2)

Si el ayer del pasado mañana es lunes, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana del ayer del pasado mañana?

Resolución:

• "El ayer del pasado mañana" se traduce como: Hoy - 1 día + 2 días = Hoy + 1 día.
• Si "Hoy + 1 día" es lunes, entonces Hoy es domingo.
• Ahora, calculamos "el anteayer del mañana del pasado mañana del ayer del pasado mañana": Hoy - 2 días + 1 día + 2 días - 1 día + 2 días = Hoy + 2 días.
• Si Hoy es domingo, entonces "Hoy + 2 días" es martes.

Respuesta: El día será martes.

5. Problemas de Lógica y Promedios

Cuatro estudiantes, luego de rendir un examen, obtuvieron 10, 11, 14 y 15 de nota. Si Aldo obtuvo nota impar; Hugo y Dante obtuvieron, cada uno, menos nota que Juan; y Hugo obtuvo más nota que Aldo, ¿cuál es el promedio de las notas de Juan y Dante?

Resolución:

• Notas disponibles: 10, 11, 14, 15.
• Aldo obtuvo nota impar: Puede ser 11 o 15.
• Hugo obtuvo más nota que Aldo.
• Hugo y Dante obtuvieron menos nota que Juan.

Analicemos las posibilidades:

1. Si Aldo = 15 (impar): Hugo > 15 (imposible, 15 es la nota más alta).
2. Si Aldo = 11 (impar):
   • Hugo > 11. Las notas restantes son 10, 14, 15. Hugo podría ser 14 o 15.
   • Si Hugo = 15: Juan > 15 (imposible).
   • Si Hugo = 14: Juan > 14. Juan debe ser 15.

Entonces, las notas son:

• Juan = 15
• Hugo = 14
• Aldo = 11

La nota restante es 10, que debe ser para Dante.

• Dante = 10

Verificamos las condiciones:

• Aldo (11) obtuvo nota impar. (Correcto)
• Hugo (14) y Dante (10) obtuvieron menos nota que Juan (15). (Correcto)
• Hugo (14) obtuvo más nota que Aldo (11). (Correcto)

El promedio de las notas de Juan y Dante es:

(15 + 10) / 2 = 25 / 2 = 12.5

Respuesta: El promedio es 12.5.

6. Acertijos de Ingenio y Proporcionalidad

6.1. Hermanos en la Familia

Juanita tiene cuatro hermanos, y cada uno de ellos tiene una hermana, ¿cuántos hermanos son en total?

Respuesta: Son 5 hermanos en total (los cuatro hermanos de Juanita y Juanita misma, que es la única hermana para todos ellos).

6.2. Viajes en Ascensor

Si subes tres veces por un ascensor, ¿cuántas veces debes bajarte?

Respuesta: Debes bajarte 2 veces (una vez al llegar al destino final de la primera subida, y otra vez al llegar al destino final de la segunda subida. La tercera subida implica una bajada al final).

6.3. Comida para Mascotas

Con una bolsa de comida para canes puedo alimentar 3 perros o 6 perritos. Si tengo 6 bolsas de dicha comida y alimento a 7 perros, ¿cuántos perritos puedo alimentar con la comida que me quedó?

Resolución:

• Relación: 1 bolsa = 3 perros = 6 perritos. Esto significa que 1 perro equivale a 2 perritos.
• Total de comida: 6 bolsas.
• En términos de perros: 6 bolsas × 3 perros/bolsa = 18 perros.
• Se alimentan 7 perros.
• Comida restante (en equivalencia de perros): 18 perros - 7 perros = 11 perros.
• Convertimos la comida restante a perritos: 11 perros × 2 perritos/perro = 22 perritos.

Respuesta: Puedo alimentar 22 perritos con la comida restante.

6.4. El Salto del Sapo

Un sapo se dirige dando saltos desde el punto A hacia el punto B, distantes entre sí 100 cm. Si entre ambos puntos está el punto C a 12.5 cm de B, ¿con cuántos saltos llegará a C, si cada salto avanza la mitad de la distancia que le falta para llegar a B?

Resolución:

• Distancia total A a B = 100 cm.
• Punto C está a 12.5 cm de B. Esto significa que la distancia de A a C es 100 cm - 12.5 cm = 87.5 cm.
• El sapo avanza la mitad de la distancia que le falta para llegar a B.
• Distancia inicial a B = 100 cm.
• Salto 1: Avanza la mitad de 100 cm = 50 cm. Distancia restante a B = 50 cm.
• Salto 2: Avanza la mitad de 50 cm = 25 cm. Distancia restante a B = 25 cm.
• Salto 3: Avanza la mitad de 25 cm = 12.5 cm. Distancia restante a B = 12.5 cm.

En este punto, el sapo ha llegado al punto C, ya que C está a 12.5 cm de B.

Respuesta: El sapo llegará a C con 3 saltos.

7. Conceptos Fundamentales: Las Fracciones

Las fracciones son un tipo de número que no es necesariamente natural. Reflejan una cantidad de algo y amplían el sistema numérico, sirviendo de base para otros conceptos matemáticos importantes como:

• Decimales
• Proporciones
• Porcentajes
• Probabilidades

8. Notas Históricas

Los griegos fueron los primeros en justificar sus respuestas y razonamientos matemáticos, sentando las bases de la demostración lógica.