Derivadas: Fundamentos, Incrementos y Cálculo Paso a Paso

Derivadas: Conceptos Fundamentales y Aplicaciones

El concepto de derivadas de una función en un punto es uno de los temas más importantes del cálculo diferencial y el análisis matemático. Su relevancia radica en sus vastas aplicaciones en diversas disciplinas, como por ejemplo en física, para el cálculo de la velocidad instantánea, la aceleración instantánea, entre otros fenómenos.

Incrementos: Absolutos, Medios y Relativos

Consideremos la función y = f(x), representada en la siguiente figura:

Podemos observar en la figura los siguientes elementos:

• ab = f(x) (función sin incrementar)
• ce = f(x+Δx) (función incrementada)
• de = Δy (incremento en y)
• bd = Δx (incremento en x)

A medida que asignamos a x diferentes valores, se irán obteniendo los correspondientes valores de y. En la gráfica, podemos observar que para un punto de abscisa x, obtenemos su imagen f(x). Si a este valor x lo incrementamos en un valor Δx, obtenemos el punto de abscisa x+Δx cuya imagen será f(x+Δx).

Incremento Absoluto

Se denomina incremento absoluto a la diferencia entre la función incrementada y el valor de la función primitiva.

Es decir:

Δy = f(x+Δx) - f(x)

Incremento Medio (Cociente Incremental)

Se define el incremento medio de la función en el intervalo (x; x+Δx) como el cociente entre el incremento absoluto de la función y el incremento de la variable x.

"El incremento medio recibe el nombre de cociente incremental."

Incremento Relativo

El incremento relativo de la función en el intervalo (x; x+Δx) es igual al cociente entre el incremento absoluto de la función y la función primitiva, es decir:

Incremento Relativo Medio

Se denomina incremento relativo medio en el intervalo (x; x+Δx) al cociente entre el incremento absoluto de la función y el producto entre el incremento Δx y la función primitiva.

Es decir:

Es importante destacar que el incremento que más se utiliza en el estudio de la derivada de una función en un punto es el incremento medio (o cociente incremental).

Cálculo de Derivadas: Pasos Fundamentales

La definición de derivada nos proporciona un método de cálculo preciso que consta de los siguientes pasos:

1. Se asigna a x un incremento arbitrario Δx.
2. Se calcula el valor de la función en el punto x, es decir, se encuentra f(x).
3. Se calcula el valor de la función incrementada (f(x+Δx)).
4. Se calcula el incremento absoluto de la función Δy.
5. Se determina el cociente incremental.
6. Se calcula el límite del cociente incremental cuando Δx → 0. Si el límite existe, este valor es la derivada de la función.

Ejemplo Práctico: Derivada de una Función Polinómica

Consideremos la función:

y = x² - 3x

1. Función incrementada:

y + Δy = (x + Δx)² - 3(x + Δx)

2. Cálculo del incremento absoluto (Δy):

Δy = x² + 2xΔx + Δx² - 3x - 3Δx - (x² - 3x)

Δy = x² + 2xΔx + Δx² - 3x - 3Δx - x² + 3x

Δy = 2xΔx + Δx² - 3Δx

3. Determinación del cociente incremental (dividiendo por Δx):

4. Aplicando el límite cuando Δx → 0:

f'(x) = lim (2x + Δx - 3) = 2x + 0 - 3

Por lo tanto, la derivada es:

f'(x) = 2x - 3

Derivada de la Función Logarítmica

Consideremos la función:

1. Incrementando la función:

2. Aplicando propiedades de logaritmos:

Δy/Δx = loga(1 + Δx/x)

Δy/Δx = loga(1 + Δx/x) = 1/Δx