Derivació de Funcions: Regles i Exemples

Derivació de funcions de funcions

Derivació de funcions de funcions.

Exemples de derivació

1) Derivar la funció: y = ln (1 + x + 3x²).

Fem:

u = (1 + x + 3x²) ➔ y = ln u

Aleshores:

y' = ^dy⁄_du = ¹⁄_u

^du⁄_dx = 1 + 6x

Per tant:

^dy⁄_dx = ^dy⁄_du · ^du⁄_dx = ¹⁄_{(1 + x + 3x²)} · (1 + 6x)

2) Derivar la funció: y = √(1 + 4x + 5x²) ➔ Fem: √U.

Si fos √U, la seva derivada seria:

¹⁄_(2·√U) = ¹⁄_{(2·√(1 + 4x + 5x²))}

La qual haurem de multiplicar per la derivada de la quantitat subradical:

y' = ¹⁄_{(2√(1 + 4x + 5x²))} · (4 + 10x) = ^{(2 + 5x)}⁄_{√(1 + 4x + 5x²)}

3) Derivar: y = ln(x + √(a² + x²)). La derivada d'un logaritme és: ¹⁄_{(x + √(a² + x²))}

Multiplicant per la derivada de la funció que segueix al "ln", que és alhora una funció de funció, la derivada de la qual serà:

1 + ¹⁄_{(2√(a² + x²))} · 2x = 1 + ^x⁄_{√(a² + x²)}

Agrupant elements:

y' = ¹⁄_{(x + √(a² + x²))} · [1 + ^x⁄_{√(a² + x²)}]

Ara fent √(a² + x²) = √U, operant resultarà:

y' = ¹⁄_{(x + √U)} · [1 + ^x⁄_√U] = ¹⁄_{(x + √U)} · [^{(√U + x)}⁄_√U] = ^{(√U + x)}⁄_{(x·√U + √U·√U)} = ^{(√U + x)}⁄_{√U(x + √U)} = ¹⁄_√U

Substituint: y' = ¹⁄_{√(a² + x²)}

Derivació logarítmica

La derivada del logaritme natural (ln) d'una funció és igual al quocient de la derivada de la funció dividit per la mateixa funció.

Exemple:

[ln(x² + 1)]' = ^{(x2 + 1)'}⁄_{(x² + 1)} = ^2x⁄_{(x² + 1)}

La logaritmació prèvia de les funcions pot facilitar el càlcul de les derivades.

Derivació de funcions exponencials

4) Trobar la derivada d'una funció exponencial composta:

y = u^v

on

• u = f(x)
• v = j(x)

¹⁄_y · y' = v'·ln u + v·¹⁄_u · u' ➔ y' = y[v'·ln u + ^v⁄_u · u']

y' = u^v (v'·ln u + ^v⁄_u · u')

5) Trobar (y') de la funció: y = ³√(x² · ^{(1 - x)}⁄_{(1 + x²)} · sin³x · cos²x)

Solució:

ln y = 2/3 ln x + ln(1 - x) - ln(1 + x²) + 3ln(sin x) + 2ln(cos x)

¹⁄_y · y' = ²⁄_(3x) + ^(-1)⁄_{(1 - x)} - ^2x⁄_{(1 + x²)} + 3·^{(cos x)}⁄_{(sin x)} - ^{(2·sin x)}⁄_{(cos x)}

D'on:

y' = y[²⁄_(3x) - ¹⁄_{(1 - x)} - ^2x⁄_{(1 + x²)} + 3cotg(x) - 2tg(x)]