Demostraciones Fundamentales de Congruencia de Triángulos y Propiedades del Cuadrado

Demostraciones de Congruencia Geométrica

1. Congruencia de los Triángulos ABC y BAD

Consideramos los triángulos ABC y BAD:

• Lado AD = Lado BC. (Lados del cuadrado son iguales)
• Ángulo DAB = Ángulo CBA. (Ángulos rectos de un cuadrado, 90°)
• Lado AB = Lado AB. (Lado común)

Por lo tanto, ΔABC ≅ ΔBAD. (Criterio Lado-Ángulo-Lado: Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes).

• AC = BD. (Partes homólogas de figuras congruentes son iguales).

2. Congruencia de los Triángulos APD y BPC

Consideramos los triángulos APD y BPC:

• Ángulo DAP = Ángulo CBP. (Ángulos de un cuadrado, 90°)
• Lado AD = Lado BC. (Lados del cuadrado)
• Lado AP = Lado PB. (P es el punto medio o bisector de AB)

Por lo tanto, ΔAPD ≅ ΔBPC. (Criterio Lado-Ángulo-Lado: Si dos lados de un triángulo y el ángulo comprendido son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo comprendido de otro, los dos triángulos son congruentes).

• PC = PD. (Partes homólogas de figuras congruentes son iguales).

3. Congruencia de Triángulos Formados por Puntos Medios

Sea un cuadrado con vértices A, B, C, D y ángulos rectos (S = 90°).

• AB = DC = DA = BC. (Lados iguales de un cuadrado).
• P, Q, R, S son los puntos medios de AB, BC, CD, DA respectivamente. (Por ser puntos bisectores).
• AP = PB = BQ = QC = CR = RD = DS = SA. (Si a cantidades iguales se dividen en partes iguales, los resultados son iguales).

Por lo tanto, los triángulos formados en las esquinas (Triángulo 1, 2, 3, 4) son iguales. (Criterio Lado-Ángulo-Lado, ya que comparten dos lados iguales y el ángulo comprendido de 90°).

4. Propiedades del Triángulo MNP (Equilátero o Isósceles)

Consideramos que el triángulo MNP es equilátero (según la hipótesis original):

• Ángulo D = Ángulo C. (Ángulos rectos del cuadrado).
• Lado AD = Lado BC. (Lados iguales del cuadrado).
• NA = MB. (Por hipótesis).
• DN = CM. (Por sustracción de segmentos iguales: AD - NA = BC - MB).
• PC = PD. (Por hipótesis).
• PM = PN. (Partes homólogas de triángulos congruentes, lo que implica que MNP es al menos isósceles).

5. Congruencia de los Triángulos PA'B' y PAB

Consideramos los triángulos PA'B' y PAB:

• Lado PA' = Lado PA. (Por hipótesis).
• Lado P'B = Lado PB. (Por hipótesis).
• Ángulo BPA = Ángulo B'PA'. (Ángulos opuestos por el vértice).

Por lo tanto, ΔPA'B' ≅ ΔPAB. (Criterio Lado-Ángulo-Lado).

• AB = A'B'. (Partes homólogas de figuras congruentes son iguales).

6. Propiedades de la Bisectriz y la Perpendicular CM

Considerando el Triángulo 1 y el Triángulo 2:

• CM biseca el ángulo ABC. (Por hipótesis).
• Ángulo 1 = Ángulo 2. (Toda bisectriz divide al ángulo en partes iguales).
• CM es perpendicular a AB. (Por hipótesis).
• CM = CM. (Por identidad o lado común).

7. Congruencia de Triángulos por Criterio ALA

Consideramos el Triángulo 1 y el Triángulo 2:

• Ángulo A = Ángulo B. (Por hipótesis).
• Lado AP = Lado BP. (P es el punto bisector de AB, por hipótesis).
• Ángulo BPM = Ángulo APN. (Por hipótesis).

Por lo tanto, Triángulo 1 ≅ Triángulo 2. (Criterio Ángulo-Lado-Ángulo: Un triángulo es igual a otro si tienen un lado y sus ángulos adyacentes respectivamente iguales).

• AN = BN. (Partes homólogas de figuras congruentes son iguales).