Demostraciones y Conceptos Avanzados en Espacios Normados y Grupos Topológicos

Teorema: Homeomorfismo Lineal en Espacios Normados n-dimensionales

Demostración

Sea (V, k · k) un R-espacio lineal normado tal que dim(V) = n y sea {e₁, ..., e_n} una base. Si x ≡ (x₁, ..., x_n) ∈ Rⁿ, la aplicación L : (Rⁿ, k·k₂) −→ (V, k·k) dada por L(x) = x₁e₁+· · ·+x_ne_n es un isomorfismo lineal. Notar que kxk_∞ = max{|x₁|, ..., |x_n|}. Entonces, si M = ke₁k+· · ·+ke_nk:

kL(x)k = kx₁e₁ + · · · + x_ne_nk ≤ |x₁|ke₁k + · · · + |x_n|ke_nk ≤ Mkxk_∞ ≤ Mkxk₂

Se sigue que L es continua. La función norma k · k : V −→ R es continua y, por lo tanto, también lo es la composición k · k ◦ L : Rⁿ −→ R. Como la esfera unidad Sⁿ⁻¹ = {x ∈ Rⁿ : kxk₂ = 1} es compacta (por ser cerrada y acotada), si m = inf{kL(x)k : x ∈ Sⁿ⁻¹}, existirá x₀ ∈ Sⁿ⁻¹ tal que kL(x₀)k = m. Notar que m > 0 ya que L es biyección y 0_Rⁿ ∉ Sⁿ⁻¹.

Entonces, dado x ∈ Rⁿ, se sigue que m ≤ kL(x/kxk₂)k = (1/kxk₂) kL(x)k, o bien mkxk₂ ≤ kL(x)k. Concluimos que L es un homeomorfismo lineal.

Lema: Compacidad y Entornos en Grupos Topológicos

Demostración

Sea G un grupo topológico, K ⊂ G compacto y U ⊂ G abierto tal que K ⊂ U. Entonces, existe V ∈ E(e) tal que KV ⊆ U.

Como U es abierto, para cada x_i ∈ K existe U_i ∈ E(e) tal que x_i ∈ x_iU_i ⊂ U. Sea V_i ∈ E(e) simétrico tal que V_i² ⊂ U_i. Es claro que {x_iV_i}_xi∈K es un recubrimiento abierto de K y, siendo K compacto, existirá un subrecubrimiento finito {x₁V₁, ..., x_nV_n}. Denotamos V = V₁ ∩ · · · ∩ V_n. Entonces, V ∈ E(e) y KV ⊂ x₁V₁V ∪ · · · ∪ x_nV_nV. Como V_iV ⊂ V_iV_i ⊂ U_i, se sigue que x_iV_iV ⊂ x_iU_i ⊂ U para 1 ≤ i ≤ n. Por lo tanto, KV ⊂ U.

Teorema: Compacidad en Grupos Topológicos y sus Cocientes

Demostración

Sea G un grupo topológico y H ≤ G cerrado. Entonces, G es compacto si y solo si H y G/H son compactos.

Si G es compacto, H lo es por ser cerrado en G y G/H = p(G) por ser p continua. Recíprocamente, sean H y G/H compactos y sea U = {U_i}_i∈J un recubrimiento abierto de G. Como U es también un recubrimiento de xH para todo x ∈ G y xH = L_x(H) es compacto, existirá un subrecubrimiento finito {U₁, ..., U_n} de xH, es decir, xH ⊂ U^x = U₁ ∪· · ·∪U_n. Por el lema anterior, existirá V^x ∈ E(e) tal que V^xxH ⊆ U^x. Pero (V^xx)H = p(V^xx) = pR_x(V^x) es abierto en G/H, ya que p es abierta y R_x es un homeomorfismo. Además, x ∈ V^xxH ya que x = exe. Entonces, es claro que {(V^xx)H}_x∈G es un recubrimiento abierto de G/H. Por lo tanto, existirá un subrecubrimiento finito {(V^x₁x₁)H, ...,(V^x_kx_k)H} ya que G/H es compacto.

Entonces, G = p⁻¹(G/H) = V^x₁x₁H ∪ · · · ∪ V^x_kx_kH ⊂ U^x₁ ∪ · · · ∪ U^x_k y cada U^x_i es unión finita de miembros de U. Por lo tanto, G es compacto.

Proposición: Acciones Discontinuas y Libres

Demostración

Toda acción discontinua φ : G × X −→ X es libre. Si G es un grupo finito y φ es una acción libre, entonces φ es también discontinua.

Si φ es discontinua y g ≠ e, para todo x ∈ X existe U abierto tal que x ∈ U y gU ∩ U = ∅ para todo g ≠ e. En particular, gx ≠ x y, por lo tanto, φ es libre. Por otra parte, sea G = {e, g₁, ..., g_n} un grupo finito y φ una acción libre. Entonces, g_ix ≠ x para 1 ≤ i ≤ n y, como X es Hausdorff, existirán abiertos U₀, U₁, ..., U_n tal que x ∈ U₀, g_ix ∈ U_i y U₀ ∩ U_i = ∅, para 1 ≤ i ≤ n.

Sea U = U₀ ∩ g₁⁻¹U₁ ∩ · · · ∩ g_n⁻¹U_n. Entonces, U es un abierto tal que x ∈ U y, como g_i puede considerarse como un homeomorfismo de X en sí mismo, notar que g_iU ⊂ U_i. Entonces, g_iU ∩ g_jU = g_i(U ∩ g_i⁻¹g_jU) = g_i(U ∩ g_kU), pero U ⊂ U₀, g_kU ⊂ U_k y U₀ ∩ U_k = ∅. Por lo tanto, g_iU ∩ g_jU = ∅ y φ será discontinua.