Demostración de la Multiplicidad Algebraica en Espacios Vectoriales

Demostraci ́on. Denotemos por s la dimensi ́on de M(λi)
. Consideremos una base {v1,··· ,vs}
de M(λi) calculada segu ́n el m ́etodo del ep ́ıgrafe anterior y ampliemos a una base de V
B = {v1,...,vs,vs+1,···vn}
Obtenemos que la matriz asociada a f respeto de esta base es de la forma
J1 B A=0C
donde J1 es una matriz de Jordán de orden s, el bloque B no nos interesa para lo siguiente y C es cuadrada de orden (n − s).
El polinomio carácter ́ıstico de f sera ́ entonces
pA(λ) = det(A − λI) = det(J1 − λI)det(C − λI) = (λi − λ)sq(λ)
para cierto polinomio q(λ). Por tanto la multiplicidad algebraica de λi es al menos,
 s, es decir
Queremos demostrar que se tiene exactamente la igualdad. Para ello, suponga-
s ≤ αi mos, por reduccio ́n al absurdo, que
s < αi
entonces el factor (λi − λ) aparece tambi ́en en q(λ) y, por tanto, λi es tambi ́en un valor propio de C. Vamos a buscar un endomorfismo que tenga a C como matriz aso- ciada. En el espacio vectorial cociente V/M(λi), que tiene dimensi ́on n−s, podemos considerar la base obtenida a partir de B, que es
B = {vs+1 + M (λi ), · · · , vn + M (λi )}
Comprobemos, en primer lugar, que es una base de V/M(λi). En primer lugar,
probaremos que es un conjunto linealmente independiente. Si as+1(vs+1 +M(λi))+···+an(vn +M(λi))=M(λi)
se tiene que
as+1vs+1 +···+anvn ∈M(λi)
de acuerdo con las definiciones del espacio vectorial cociente. En consecuencia,
as+1vs+1 +···+anvn =a1v1 +···+asvs

de donde
(−a1)v1 +···+(−as)vs +as+1vs+1 +···+anvn =0
y al tratarse de una base, se tiene que todos los escalares son nulos; en particular,
as+1 =···=an =0
como pretend ́ıamos mostrar. En un espacio vectorial de dimensio ́n n − s, todo con- junto linealmente independiente formado por n − s vectores es una base. As ́ı pues, B es una base de V/M(λi).
Definimos
por
f : V/M(λi) −→ V/M(λi) f(v + M(λi)) = f(v) + M(λi)
Nuestra definici ́on de f sobre una clase viene dada como la clase de la imagen por f de un representante de la clase de partida. Debemos ver, en primer lugar, que esta definici ́on no depende del representante elegido, lo cual conlleva que f sea, efectivamente una aplicacio ́n (en A ́lgera expresamos ese hecho diciendo que f esta ́ bien definida). Para ello, sean v y v′ dos representantes de la misma clase; es decir,
v+M(λi)=v′ +M(λi) v−v′ ∈M(λi)
con lo cual
Como M(λi) es f-invariante, se tiene que
es decir, de donde
f(v − v′) ∈ f(M(λi)) ⊆ M(λi) f(v) − f(v′) ∈ M(λi)
f(v) + M(λi) = f(v′) + M(λi)
El hecho de ser f una aplicacio ́n es consecuencia de que M(λi) es f- invariante y es lineal porquef lo es.
Adema ́s, la matriz asociada a f en la base B es C, ya que para cada k
f(vs+k + M(λi)) = f(vs+k) + M(λi)
y sus coordenadas en la base B son las n − s u ́ltimas coordenadas de f(vs+k) en la base B, que son las que forman la columna k de C.

Ahora sabemos que λi es un valor propio de f, o sea que existe una clase no nula v + M(λi) que es un vector propio asociado a λi
f(v + M(λi)) = λi(v + M(λi)) = λiv + M(λi) f(v) + M(λi) = λiv + M(λi)
Luego
y, por tanto, el vector
As ́ı
y, por tanto,
(f − λiI)(v) ∈ M(λi) = Ek(λi)
(f − λiI)k((f − λiI)(v)) = (f − λiI)k+1(v) = 0
v ∈ Ek+1(λi) = Ek(λi) = M(λi)
valor propio de C y esta contradiccio ́n proviene de suponer que s < αi. Luego debe
de tenerse
s = αi