Demostración del Lema de Poincaré en Dominios Estrellados

Lema 5.3.9 (Poincaré para Abiertos Estrellados)

Sea Ω un **abierto estrellado** en Rⁿ y sea ω : Ω → (Rⁿ)^* una **1-forma de clase C¹ y cerrada**. Entonces, ω es **exacta** en Ω.

Demostración

Gracias a que Ω es un **abierto estrellado**, tenemos una forma clara de definir un candidato a **función potencial**. Fijemos a = (a₁, ..., a_n) un **centro de Ω** y definimos:

f(x) = ∫_[a,x] ω, x ∈ Ω.

Nuestra 1-forma ω = P₁(x)dx₁ + ··· + P_n(x)dx_n cumple que sus **componentes son C¹ en Ω** y que:

∂P_i / ∂x_j = ∂P_j / ∂x_i en Ω, para todo i, j. (Esta es la condición de que ω es **cerrada**).

Cálculo de las Derivadas Parciales de f

Fijemos un punto x = (x₁, ..., x_n) ∈ Ω y veamos que ∂f/∂x₁(x) = P₁(x) (para las otras coordenadas, el razonamiento es **análogo**). Esto lo planteamos así: primero, fijamos una bola B(x; r) ⊂ Ω y definimos la función:

ϕ(t) = f(t, x₂, ..., x_n), |t − x₁| < r.

En estos términos, se trata de ver que ϕ es **derivable en x₁** y que ϕ'(x₁) = P₁(x). Denotemos x_t = (t, x₂, ..., x_n) y parametricemos el segmento [a, x_t] en [0, 1], es decir:

s ∈ [0, 1] → (1 − s)a + sx_t = ((1 − s)a₁ + st, (1 − s)a₂ + sx₂, ..., (1 − s)a_n + sx_n).

La derivada de esta parametrización respecto a s es (t − a₁, x₂ − a₂, ..., x_n − a_n). Entonces, aplicando la definición de f(x) como integral de línea, tendremos que:

ϕ(t) = ∫₀¹ {P₁((1−s)a+sx_t)(t−a₁) + P₂((1−s)a+sx_t)(x₂−a₂) + ... + P_n((1−s)a+sx_t)(x_n−a_n)}ds.

Derivada de la Función Integrando

Denotemos la función integrando como:

h(s, t) = P₁((1 − s)a + sx_t)(t − a₁) + P₂((1 − s)a + sx_t)(x₂ − a₂) + ... + P_n((1 − s)a + sx_t)(x_n − a_n).

Esta función es derivable respecto de t y su derivada, por la **regla de la cadena**, es:

∂h/∂t (s, t) = ∂P₁/∂x₁ ((1 − s)a + sx_t)s(t − a₁) + P₁((1 − s)a + sx_t) + ∂P₂/∂x₁ ((1 − s)a + sx_t)s(x₂ − a₂) + ... + ∂P_n/∂x₁ ((1 − s)a + sx_t)s(x_n − a_n),

para cada s ∈ (0, 1), t ∈ (x₁ − r, x₁ + r). Ahora, usando la **hipótesis de que ω es cerrada** (es decir, ∂P_j/∂x₁ = ∂P₁/∂x_j), y evaluando en t = x₁, nos queda:

∂h/∂t (s, x₁) = s ∑_j=1ⁿ ∂P₁/∂x_j ((1 − s)a + sx)(x_j − a_j) + P₁((1 − s)a + sx).

Aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo

Observemos que, si definimos la función de una variable:

g(s) = sP₁((1 − s)a + sx), s ∈ [0, 1],

esta función es **continua en [0, 1]** y **derivable en (0, 1)**, siendo su derivada, por la regla de la cadena:

g'(s) = s ∑_j=1ⁿ ∂P₁/∂x_j ((1 − s)a + sx)(x_j − a_j) + P₁((1 − s)a + sx) = ∂h/∂t (s, x₁).

Entonces, derivando bajo el signo integral primero y aplicando el **Teorema Fundamental del Cálculo** (o Regla de Barrow) después, obtenemos:

ϕ'(x₁) = ∫₀¹ ∂h/∂t (s, x₁)ds = ∫₀¹ g'(s)ds = g(1) − g(0) = P₁(x).

Verificación de las Hipótesis para la Derivación Bajo el Signo Integral

Para comprobar las **hipótesis de derivación bajo el signo integral** (Teorema de Leibniz), definimos el conjunto:

K = {(1 − s)a + sx_t : s ∈ [0, 1], t ∈ [x₁ − r, x₁ + r]}.

Este conjunto es un **triángulo cerrado y acotado** (es decir, un **conjunto compacto**) contenido en Ω. Dado que las funciones ∂P₁/∂x_j son **continuas en Ω**, estarán **acotadas en K**. Por tanto, se sigue que existe una constante C tal que:

|∂h/∂t (s, t)| ≤ C, ∀s ∈ [0, 1], ∀t ∈ [x₁ − r, x₁ + r].

Y como, obviamente, C es integrable en (0, 1), tenemos la hipótesis que necesitábamos para aplicar el teorema de derivación bajo el signo integral.