Deformación de Placas y Tensores: Superando la Teoría Lineal

Espacios Reales: Más allá de Descartes

Dada la figura como si fuera una porción de una esfera, esta representa una placa plana con un espesor pequeño en relación con sus otras dimensiones. Tras soportar cargas considerables de abajo hacia arriba, se ha producido una deformación tal que parece transformarse en una cáscara. En este estado, las reglas utilizadas para medir distancias antes de la deformación pierden validez sobre la nueva forma, provocando un cambio significativo en el tensor métrico y conduciendo a ecuaciones totalmente distintas.

El cambio de métrica requiere una revisión profunda de todas las entidades tensoriales y de las ecuaciones conocidas. El estudio de este efecto permite comparar las limitaciones reales de la teoría lineal, no desde su interior, sino con la perspectiva que otorga observar el problema desde fuera de dicho campo. Para ello, es necesario presentar nuevas entidades matemáticas; mediante el concepto de vector tangente a una curva, es posible describir el número mínimo necesario de estas.

Cambios Generales entre la Teoría Lineal y No Lineal

Históricamente, el análisis de deformaciones se realizaba considerando que el estado de deformación era tan pequeño que los cambios resultaban despreciables, permitiendo modelar sobre la geometría original. Sin embargo, en casos reales, no es posible afirmar que los métodos convencionales para medir deformaciones y rotaciones sean exactos, ya que no se pueden simplificar.

Un estudio realista de las deformaciones debe considerar:

• Cuánto ha cambiado el cuerpo deformado debido a una causa externa.
• Si la forma original del cuerpo impide ignorar la influencia de su geometría durante el estudio.
• La imposibilidad de independizar la geometría del cálculo.

Relación de Coordenadas

Dada la figura, las coordenadas antes de la deformación se representan con G o E (mayúsculas), mientras que con g o e (minúsculas) se denotan las coordenadas posteriores a la deformación.

La relación entre ambas en coordenadas cartesianas es:

u_i = x_i - X_i, donde u_i representa los corrimientos.

Para las coordenadas curvilíneas se utilizan vectores diferenciales:

Donde:

• dΞ: Coordenada curvilínea inicial.
• dζ: Coordenada curvilínea actual.