Definiciones Clave en Álgebra Lineal: Vectores, Matrices y Endomorfismos

Conceptos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Subespacio Vectorial

Sea V un espacio vectorial sobre K. Un subconjunto no vacío U de V se dice que es un subespacio vectorial de V, y lo denotaremos por U ≤ V, si se verifican las siguientes condiciones:

• U es cerrado para la suma: Para todo u, w ∈ U, se cumple que u + w ∈ U.
• U es cerrado para el producto por escalares: Para todo α ∈ K y todo u ∈ U, se cumple que αu ∈ U.

Dependencia e Independencia Lineal

Sea V un espacio vectorial sobre K.

• Se dice que un conjunto de vectores {v₁, ..., vₙ} es linealmente dependiente (L.D.) si y solo si existen escalares a₁, ..., aₙ ∈ K, no todos nulos, tales que 0 = a₁v₁ + ... + aₙvₙ.
• Se dice que un conjunto de vectores {v₁, ..., vₙ} es linealmente independiente (L.I.) si y solo si para cada 0 = a₁v₁ + ... + aₙvₙ se implica que a₁ = 0, ..., aₙ = 0.

Sistema de Generadores

Sea V un espacio vectorial sobre K. Un conjunto de vectores S se dice que es un sistema de generadores de V si todo vector de V es una combinación lineal finita de los vectores de S.

Espacios Vectoriales Euclídeos y sus Propiedades

Producto Escalar

Sea V un espacio vectorial sobre ℝ. Un producto escalar en V es una aplicación <,>: V × V → ℝ que verifica las siguientes propiedades para todo u, v, w ∈ V y todo a ∈ ℝ:

1. Simetría: <u, v> = <v, u>
2. Linealidad en la primera componente: <u + w, v> = <u, v> + <w, v>
3. Homogeneidad: <au, v> = a<u, v>
4. Definida positiva: <u, u> ≥ 0 y <u, u> = 0 si y solo si u = 0

Un espacio vectorial euclídeo es un par (V, <,>), donde V es un espacio vectorial y <,> es un producto escalar definido en V.

Norma de un Vector

Sea (V, <,>) un espacio vectorial euclídeo. Se define la norma de un vector v ∈ V como ||v|| = √<v, v>. Observar que ||v|| = √<v, v> = √(XᵀGX), donde X es el vector de coordenadas de v y G es la matriz de Gram.

Ángulo entre Vectores

Para cada x, y vectores no nulos de un espacio vectorial euclídeo, llamaremos ángulo entre dos vectores x e y al único número real α, con 0 ≤ α ≤ π, que verifica:

cos α = <x, y> / (||x|| ||y||)

Bases Ortogonales y Ortonormales

Sea V un espacio vectorial euclídeo de dimensión finita. Una base B = {v₁, ..., vₙ} de V se dice ortogonal si los vectores que la forman son ortogonales dos a dos; es decir, si <vᵢ, vⱼ> = 0 para todo i ≠ j.

Se dice que B es ortonormal si y solo si es ortogonal y todos los vectores de la base son unitarios (||vᵢ|| = 1 para todo vᵢ ∈ B).

Matriz de Gram

Sea (V, <,>) un espacio vectorial euclídeo. Llamaremos matriz de Gram respecto de una base B = {v₁, ..., vₙ} de V a G = (gᵢⱼ) siendo gᵢⱼ = <vᵢ, vⱼ> para todo i, j.

Aplicaciones Lineales y Endomorfismos

Aplicación Lineal (Morfismo de Espacios Vectoriales)

Sean V y V' espacios vectoriales sobre K. Llamaremos aplicación lineal (o morfismo de espacios vectoriales) de V en V' a toda aplicación f: V → V' que verifica:

1. f(v + w) = f(v) + f(w) para todo v, w ∈ V.
2. f(av) = af(v) para todo a ∈ K y todo v ∈ V.

Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal

Sean V y V' espacios vectoriales sobre K, y sea f: V → V' una aplicación lineal. Llamaremos núcleo e imagen de f, respectivamente, a:

• Núcleo de f (Ker(f)): Ker(f) = {x ∈ V : f(x) = 0_V'}
• Imagen de f (Im(f)): Im(f) = {f(x) : x ∈ V}

Tipos de Aplicaciones Lineales: Inyectiva, Sobreyectiva, Biyectiva

Sean V y V' espacios vectoriales sobre K, y sea f: V → V' una aplicación lineal.

• Diremos que f es inyectiva si y solo si (para todo x₁, x₂, si x₁ ≠ x₂ entonces f(x₁) ≠ f(x₂)) o, equivalentemente, si (f(x₁) = f(x₂) implica x₁ = x₂ para todo x₁, x₂ ∈ V).
• Diremos que f es sobreyectiva si y solo si para todo y ∈ V', existe un x ∈ V tal que f(x) = y.
• Una aplicación f es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

Valor Propio y Vector Propio de un Endomorfismo

Sea V un espacio vectorial sobre K y f: V → V un endomorfismo en V.

• Se dice que el escalar λ ∈ K es un valor propio (o autovalor) de f si existe un vector no nulo v ∈ V tal que f(v) = λv.
• Para un escalar λ ∈ K, llamaremos vector propio (o autovector) asociado a λ a cada vector v de V tal que f(v) = λv.
• Denotamos por Vλ al conjunto de todos los autovectores asociados a λ; es decir: Vλ = {v ∈ V : f(v) = λv}.

Polinomio Característico

Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n, f un endomorfismo de V y sea A la matriz asociada a f respecto de una base de V. Llamaremos polinomio característico de f al determinante p(λ) = det(A - λI).

Multiplicidad Algebraica y Geométrica de un Valor Propio

Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n, f un endomorfismo en V y A la matriz asociada a f respecto de una base de V. Sean λ₁, λ₂, ..., λᵣ sus valores propios distintos. Para cada i:

• Llamaremos multiplicidad algebraica del valor propio λᵢ a la multiplicidad de λᵢ como raíz del polinomio característico; es decir, el mayor exponente αᵢ para el cual el factor (λᵢ - λ)^αᵢ aparece en la descomposición de p(λ).
• Llamaremos multiplicidad geométrica del valor propio λᵢ a la dimensión, dᵢ, del subespacio propio Vλᵢ; esto es, dᵢ = dim(Vλᵢ) = n - rg(A - λᵢI).

Endomorfismo y Matriz Diagonalizable

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz diagonal D semejante a A.

Diremos que el endomorfismo f: V → V es diagonalizable si existe una base de V con respecto a la cual la matriz asociada a f es diagonal.

Un endomorfismo f: V → V es diagonalizable por semejanza si y solo si se verifican las siguientes condiciones:

1. α₁ + ... + αᵣ = n (La suma de las multiplicidades algebraicas es igual a la dimensión del espacio).
2. dᵢ = αᵢ para cada i = 1, ..., r (La multiplicidad geométrica es igual a la multiplicidad algebraica para cada valor propio).