Toma de Decisiones con Incertidumbre: Ejercicios Resueltos

1. Funciones de Utilidad

1.1. Nos da la función de utilidad de los resultados u(x) = (x+1)^2 - 3. ¿Cuál es la función de utilidad normalizada?

Se define V = au + b, con V(1) = 0 y V(2) = 1. Sustituimos 1 en u(x) y 2 en u(x) para obtener dos ecuaciones:

• 0 = a*u(1) + b
• 1 = a*u(2) + b

Resolvemos el sistema de ecuaciones para obtener los valores de a y b. Después, sustituimos estos valores en V = au + b para obtener la función de utilidad normalizada.

2. Loterías y Equivalentes Ciertos

2.1. Nos dan la siguiente tabla:

También nos dan la lotería l (0.5, 0.5). El decisor es indiferente a participar en la lotería que obtener un equivalente cierto:

V(c) = V(l); V(l) = 0.5 * v(-1) + 0.5 * v(3) = 0.5 * (-2) + 0.5 * (1) = -0.5 -> V(c) = -0.5 -> c = -1.3

3. Probabilidades a Posteriori e Información Perfecta

3.1. Nos dan a1, a2, o1 y o2. Puede acudir a un experto con fiabilidad del 90% en x1 y 80% en x2. ¿Cuál es la probabilidad de x1?

Calculamos P(xi/oi) y las otras 3 probabilidades condicionales. Después, construimos la tabla conjunta con x1, oi, P(oi), etc., y el valor de P(x1) que obtengamos será el resultado.

3.2. Nos dice que es x2. ¿Qué opción escoge?

Construimos la tabla con x2 y calculamos E(a1/x2) y E(a2/x2). Escogemos la opción con el valor esperado óptimo.

4. Reglas de Decisión Aleatorizadas

4.1. Se plantea la siguiente regla de decisión aleatorizada: a`1 (a1 = 0.3 y a2 = 0.7) y a`2 (a1 = 0.8 y a2 = 0.2).

Calculamos:

• a`1 -> si o1 = 0.3 * a1o1 + 0.7 * a1o2 y si o2 = 0.3 * a2o1 + 0.7 * a2o2
• Luego con a`2

Construimos la matriz con los 4 resultados. Después, calculamos la función de riesgo F(x), donde:

• R(Y, o1) = P(o1) * o1a`1 + P(x2/o1) * o1a`2
• Hacemos lo mismo con R(Y, o2)

Finalmente, calculamos el Riesgo medio = P(o1) * R(Y, o1) + P(o3) * R(Y, o2).

4.2. Se plantea la siguiente regla de decisión aleatorizada: a`1 (a1 = 0.3, a2 = 0.7) y a`2 (a1 = 0.5, a2 = 0.5). ¿La matriz de la función de pagos?

a`1 se mantienen los mismos datos (apdo. 6), pero tenemos que calcular un nuevo a`2. Así, obtenemos la nueva matriz.

5. Criterios de Decisión bajo Incertidumbre

5.1. ¿Qué opción escoge ante una actitud pesimista de riesgo?

Construimos la matriz y calculamos los máximos y mínimos. Después, calculamos max(min) y escogemos los 2 valores más grandes. Finalmente, seleccionamos las 2 opciones más óptimas.

5.2. ¿Grado de pesimismo?

Calculamos:

• a1 -> c1 = lambda * m1 + (1 - lambda) * M1
• Después con a2

Igualamos c1 y c2 y despejamos el valor de lambda. Ej: 3/5, entonces 3/5 < lambda.

6. Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP)

6.1. Árbol. Contrata especialista sobre o1. ¿Cuánto está dispuesto a pagar?

Construimos el árbol de decisión. Calculamos E(a1) para la rama donde se encuentra o1 y después para las ramas donde no se encuentra o1. Escogemos el valor óptimo = RER. Después:

• Si o1: B = mayor valor de o1, C = óptimo del resto de oi
• Hacemos lo mismo con Si o2

Calculamos el valor óptimo para o1 y o2, que serían A1 y A2. Finalmente, calculamos REIP = P(o1) * A1 + P(o2) * A2 y VEIP = REIP - RER.

7. Criterio del Valor Monetario Esperado

7.1. Nos dan a1, a2, o1 y o2. ¿Qué opción escoge?

Construimos la matriz y calculamos E(a1) y E(a2). Escogemos la opción con el valor esperado óptimo.

7.2. Según el criterio de preferencia absoluta, escoge (7000 <> 8500) > 8500).

Hacemos:

• a1 -> 0 si x < 3000
• También lo hacemos con a2

Determinamos el rango en a1 y a2. Al ser desfavorable, escogemos la opción con mayor probabilidad.

8. Coste de Oportunidad

8.1. Árbol. En caso de seguir o1, ¿cuánto está dispuesto a pagar al experto?

Construimos el árbol de decisión. Calculamos E(a1) y E(a2) y escogemos el valor óptimo. Después:

• Si o1: B = mayor valor de o1, C = óptimo del resto de oi
• Hacemos lo mismo con Si o2

Calculamos el valor óptimo para o1 y o2, que serían A1 y A2. Finalmente, calculamos REIP = P(o1) * A1 + P(o2) * A2 y VEIP = REIP - RER.

8.2. ¿Coste de oportunidad?

Construimos la matriz. Restamos el valor de la opción más favorable para cada estado de la naturaleza y obtenemos una nueva matriz. Finalmente, calculamos min(max), donde escogemos los 2 valores más grandes de a1 y a2 y después el óptimo de estos 2.

9. Criterio de Hurwicz

9.1. ¿Qué opción si el 70% de las veces toma la peor opción?

Lambda = 70%. Calculamos:

• a1 -> c1
• a2 -> c2

Sustituimos lambda en ambas ecuaciones. La opción con el valor más grande es la elegida.

10. Funciones de Utilidad y Equivalentes Ciertos

10.1. v(x) = 6x - x^2, nos da a1 y a2, y sus probabilidades. ¿Cuándo serían indiferentes?

Construimos una matriz con a1 y a2 en la primera fila y sus probabilidades en la segunda fila. Después, resolvemos la ecuación:

6c - c^2 = 0.5 * (6 * a1 - a1^2) + P(a2) * (6 * a2 - a2^2)

para obtener el valor de c.

11. Ejercicios Adicionales

11.1. Nos dan a1 y a2, P(o1) y P(o2). Nos da la función de utilidad v(x) = x^2 - 2x.

A1 (o1 = 2.8, prob = 0.4; o2 = 1.5, prob = 0.6). A2 (o3 = 2.5, prob = 0.5).

Calculamos:

• V(A) = 0.4 * u(2.8) + 0.6 * u(1.5)
• V(A) = 0.4 * (2.8^2 - 2 * 2.8) + 0.6 * (1.5^2 - 2 * 1.5)
• V(B) = Hacemos lo mismo

Comparamos V(A) y V(B) y escogemos la opción con el mayor valor.

11.2. Si elige bajo el criterio del valor monetario esperado, escoge:

Construimos el árbol de decisión y calculamos E(a1) y E(a2). Escogemos la opción con el valor esperado óptimo.

11.3. Nos dan a1, a2, o1 y o2. Realiza un informe sobre o1. ¿Qué pasa con la probabilidad a posteriori?

Construimos la matriz. Después, definimos x1 y x2 y calculamos P(x1/o1) y las otras 3 probabilidades condicionales. Construimos la tabla conjunta con x1, x2, oi, etc. Para calcular la probabilidad a posteriori, restamos el primer valor de la última columna de la tabla a P(o1).

11.4. Nos pide información respecto al beneficio. Hacemos lo mismo con la otra variable (x2). Construimos la tabla y calculamos:

• E(a1/x2) = (Primer valor de la última fila) * (a1o1) + (Segundo valor de la última fila) * (a2o1)
• E(a2/x2)

Escogemos la opción con el valor esperado óptimo.

11.5. Resultado esperado con la regla de decisión aleatorizada:

Calculamos E(a1/x1) y E(a1/x2) y escogemos el valor óptimo. Después, calculamos REII = P(x1) * (óptimo x1) + P(x2) * (óptimo x2).

11.6. Aplicar información a la regla de decisión aleatorizada. Nos dan a`1 (a1 = 0.5, a2 = 0.5) y a`2 (a1 = 0.6, a2 = 0.4). Calculamos:

• a`1 respecto de o1 = 0.5 * (a1o1) + 0.5 * (a2o1)

11.7. Nos dan a1, a2, o1 y o2. No hay probabilidades. Criterio de Hurwicz con coeficiente de optimismo = 0.3.

Construimos la matriz y las columnas de máximos y mínimos. Después, calculamos:

• a1 -> c1
• a2 -> c2

Igualamos c1 y c2 y despejamos el valor de c. Sustituimos c en cada ecuación y la opción con el valor más óptimo es la elegida.