Datos Panel: Modelos Esenciales de Efectos Fijos y Variables Instrumentales

Definiciones Clave en Datos Panel y Modelos de Regresión

Definición 4.1: Datos Panel y Ejemplo

Los datos de panel consisten en observaciones sobre las mismas n entidades individuales para dos o más períodos de tiempo, T. Si el conjunto de datos consta de las observaciones sobre las variables X e Y, entonces los datos se expresan como X_it, Y_it, donde i = 1, ..., n y t = 1, ..., T. El primer subíndice, i, se refiere a la entidad individual que está siendo observada y el segundo subíndice, t, se refiere al período en el que se observa. El ejemplo queda abierto; cada uno elige el que le parece más ilustrativo.

Definición 4.2: Modelo de Regresión de Efectos Fijos para Datos Panel

El modelo de Regresión de Efectos Fijos es:

Y_it = α_i + β₁X_1,it + ... + β_kX_k,it + u_it

donde i = 1, ..., n; t = 1, ..., T; X_1,it es el valor del primer regresor para la entidad individual i en el período de tiempo t, X_2,it es el valor del segundo regresor, y así sucesivamente; y α₁, ..., α_n son los términos constantes específicos de cada entidad individual.

De manera equivalente, el modelo de regresión de efectos fijos puede expresarse en términos de una constante común, las X y n-1 variables binarias que representan a todas las entidades individuales excepto a una:

Y_it = β₀ + β₁X_1,it + ... + β_kX_k,it + γ₂D_2i + ... + γ_nD_ni + u_it

donde D_2i = 1 si i = 2 y D_2i = 0 en caso contrario, y así sucesivamente.

Definición 4.3: Estimación MCO con Variables en Desviaciones para Datos Panel

Es un método de estimación aplicable al Modelo de Efectos Fijos. Se define utilizando un proceso en dos etapas:

1. Primera etapa: Se resta a cada observación la media temporal específica a cada entidad individual.
2. Segunda etapa: Se estiman los parámetros aplicando los MCO (Mínimos Cuadrados Ordinarios) a las variables en desviaciones.

Considerando el Modelo de Efectos Fijos con un solo regresor:

Y_it = α_i + βX_it + u_it

Las etapas serían:

1ª Etapa: Se calculan las medias individuales para cada entidad individual:

Ȳ_i = (1/T) Σ_t=1^T Y_it

X̄_i = (1/T) Σ_t=1^T X_it

Y, a continuación, se obtienen las desviaciones (variables centradas respecto a su media individual):

Ỹ_it = Y_it - Ȳ_i

X̃_it = X_it - X̄_i

2ª Etapa: Se aplican los MCO a estas desviaciones. El estimador de β (denotado como β̂) se calcula como:

β̂ = [Σ_i=1ⁿ Σ_t=1^T (X̃_itỸ_it)] / [Σ_i=1ⁿ Σ_t=1^T (X̃_it)²]

Definición 4.4: Variable Instrumental

Es una variable correlacionada con un regresor endógeno (relevancia del instrumento) e incorrelacionada con el término de error de la regresión (exogeneidad del instrumento). La variable instrumental se utiliza cuando en un modelo el regresor no es estrictamente exógeno y, como consecuencia, el estimador MCO no es consistente.

Definición 4.5: Estimador de Variable Instrumental

Este estimador se propone para aquellos casos en que el regresor (x_t) no es estrictamente exógeno. Se parte de una variable, que es la variable instrumental (z_t), que está correlacionada con el regresor pero incorrelacionada con la perturbación aleatoria del modelo, y se define la ecuación normal que puede escribirse como:

Σ (z_ty_t) = β̂ Σ (z_tx_t)

A partir de esta relación se despeja el estimador de variable instrumental (VI), β̂_VI, que es un estimador consistente:

β̂_VI = [Σ (z_ty_t)] / [Σ (z_tx_t)]