Criterios de Convergencia de Series Infinitas: Teoría y Aplicaciones Fundamentales

Fundamentos y Propiedades Generales de las Series Infinitas

Propiedades Algebraicas de Convergencia

Teorema 1 (Supresión de Términos Finitos): Suprimir o añadir un número finito de términos a una serie no afecta su convergencia o divergencia. Si la serie original converge, la serie modificada también lo hace, y viceversa.

Teorema 2 (Multiplicación por Constante): Si una serie $\sum a_n$ converge con suma $S$, entonces la serie $\sum c \cdot a_n$ (con $c$ fijo) también converge, y su suma es $c \cdot S$.

Teorema 3 (Suma y Resta de Series): Si $\sum a_n$ y $\sum b_n$ convergen con sumas $S'$ y $S''$, respectivamente, entonces:

• $\sum (a_n + b_n)$ converge con suma $S' + S''$.
• $\sum (a_n - b_n)$ converge con suma $S' - S''$.

Condición Necesaria de Convergencia

Condición Necesaria: Si la serie $\sum a_n$ converge, entonces el límite de su término general debe ser cero: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Corolario (Prueba de Divergencia): Si $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$ o el límite no existe, entonces la serie $\sum a_n$ diverge.

Series de Términos Positivos

Definición y Clasificación

Definición: Una serie $\sum a_n$ es de términos positivos si todos sus términos cumplen $a_n \geq 0$.

Clasificación:

• Convergente: Si su suma parcial $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ tiene un límite finito ($\lim_{n \to \infty} S_n$ existe).
• Divergente: Si su suma es infinita.

Teorema Fundamental: Si $a_n \geq 0$, la sucesión de sumas parciales $S_n$ es creciente. La serie converge si y solo si $S_n$ está acotada superiormente.

Criterios de Convergencia para Términos Positivos

Criterio de Comparación Directa

Sean $\sum a_n$ y $\sum b_n$ series de términos positivos ($a_n \geq 0, b_n \geq 0$).

• Convergencia: Si $0 \leq a_n \leq b_n$ y $\sum b_n$ converge, entonces $\sum a_n$ también converge.
• Divergencia: Si $a_n \geq b_n \geq 0$ y $\sum b_n$ diverge, entonces $\sum a_n$ también diverge.

Criterio del Cociente (D'Alembert)

Sea $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

• Si $L < 1$, la serie converge.
• Si $L > 1$ o $L = \infty$, la serie diverge.
• Si $L = 1$, el criterio no es concluyente.

Criterio de la Raíz (Cauchy)

Sea $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$.

• Si $L < 1$, la serie converge.
• Si $L > 1$ o $L = \infty$, la serie diverge.
• Si $L = 1$, el criterio no es concluyente.

Criterio Integral

Si existe una función $f(x)$ positiva, continua y decreciente tal que $f(n) = a_n$, entonces la serie $\sum a_n$ y la integral impropia $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ tienen el mismo tipo de convergencia (ambas convergen o ambas divergen).

Series Alternadas y Tipos de Convergencia

Series Alternadas

Definición: Una serie alternada es aquella cuyos términos cambian de signo, por ejemplo: $\sum (-1)^n a_n$ o $\sum (-1)^{n+1} a_n$, donde $a_n > 0$.

Criterio de Leibniz: La serie alternada $\sum (-1)^{n+1} a_n$ converge si se cumplen dos condiciones:

1. La sucesión de términos positivos es no creciente: $a_{n+1} \leq a_n$.
2. El límite del término general es cero: $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$.

Estimación del Error: Si la serie converge a $S$, el error al usar la suma parcial $S_n$ está acotado por el primer término omitido: $|S - S_n| \leq a_{n+1}$.

Convergencia Absoluta y Condicional

Convergencia Absoluta: La serie $\sum a_n$ converge absolutamente si la serie de valores absolutos $\sum |a_n|$ converge. Nota: Si una serie converge absolutamente, también converge.

Convergencia Condicional: La serie $\sum a_n$ converge condicionalmente si $\sum a_n$ converge, pero $\sum |a_n|$ diverge.

Teoremas de Reordenamiento

• Reordenamiento Absoluto: Si una serie converge absolutamente, cualquier reordenamiento de sus términos converge y da la misma suma.
• Reordenamiento Condicional: Si una serie converge solo condicionalmente, se puede reordenar para que sume cualquier número real deseado o incluso para que diverja (Teorema de Riemann).

Series de Funciones y Series de Potencias

Series de Funciones

Definición: Una serie de funciones es una suma infinita de funciones: $\sum f_n(x) = f_1(x) + f_2(x) + \dots$

Convergencia Uniforme: Una serie de funciones converge uniformemente a $f(x)$ en un intervalo si, para cualquier $\varepsilon > 0$, existe un $N$ tal que para todo $n \geq N$, se cumple que $|S_n(x) - f(x)| < \varepsilon$ para todo $x$ en el intervalo. La convergencia uniforme es crucial porque permite intercambiar límites con operaciones.

Operaciones con Series de Funciones

Si una serie de funciones converge uniformemente, se pueden realizar operaciones término a término:

• Integración Término a Término: $\int \sum f_n(x) dx = \sum \int f_n(x) dx$
• Derivación Término a Término: Si la serie de derivadas $\sum f'_n(x)$ converge uniformemente, entonces $\frac{d}{dx} \sum f_n(x) = \sum \frac{d}{dx} f_n(x)$

Series de Potencias

Definición: Una serie de potencias es una serie de la forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n$.

Convergencia: El radio de convergencia se determina típicamente usando el Criterio del Cociente o el Criterio de la Raíz.

Series de Taylor y MacLaurin

Serie de Taylor: Representación de una función $f(x)$ alrededor de un punto $x_0$:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$$

Serie de MacLaurin: Es el caso especial de la Serie de Taylor cuando el punto de expansión es $x_0 = 0$.