Criterio del Límite para Series de Términos Positivos: Demostración y Aplicaciones

2. Criterio del límite para series de términos positivos

Dadas dos series de términos positivos ∑_n=1^∞ a_n y ∑_n=1^∞ b_n:

• a) Si ∑_n=1^∞ a_n converge y lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ ℝ (es decir, l ≠ +∞), entonces ∑_n=1^∞ b_n converge.
• b) Si ∑_n=1^∞ a_n diverge y lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ ℝ con l ≠ 0 o lim_n→∞ (b_n/a_n) = +∞, entonces ∑_n=1^∞ b_n diverge.

Demostración

Antes de demostrar los distintos casos, obsérvese que si lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ &Ropf;, entonces para todo ε > 0 existe un n₀ tal que para todo n ≥ n₀ se cumple l - ε < b_n/a_n < l + ε, y por tanto (l - ε)a_n < b_n < (l + ε)a_n.

Así pues, se puede decir que ∑_n=1^∞ (l - ε)a_n y ∑_n=1^∞ (l + ε)a_n son una minorante y mayorante de ∑_n=1^∞ b_n, respectivamente.

Caso a)

Se supone que ∑_n=1^∞ a_n converge y lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ &Ropf;. Si ∑_n=1^∞ a_n converge, por el criterio de invarianza, ∑_n=1^∞ (l + ε)a_n también converge y hemos visto que es mayorante de ∑_n=1^∞ b_n, por lo que ∑_n=1^∞ b_n es convergente.

Caso b.1)

Se supone que ∑_n=1^∞ a_n es divergente y lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ∈ &Ropf;, con l ≠ 0. Obsérvese que, por ser las series de términos positivos, si lim_n→∞ (b_n/a_n) = l ≠ 0, se verifica l > 0.

Escogiendo ε > 0 tal que (l - ε) > 0, resulta que ∑_n=1^∞ (l - ε)a_n es una serie de términos positivos divergente y minorante de ∑_n=1^∞ b_n; aplicando el criterio de comparación, se puede afirmar que ∑_n=1^∞ b_n es también divergente.

Caso b.2)

Se supone que ∑_n=1^∞ a_n es divergente y lim_n→∞ (b_n/a_n) = +∞. Por ser el límite infinito, para todo M > 0 existe un n₀ tal que para todo n ≥ n₀ se cumple b_n/a_n > M, es decir, b_n > M a_n. Eligiendo M > 0 y razonando como en los casos anteriores, ∑_n=1^∞ M a_n es una serie divergente minorante de ∑_n=1^∞ b_n y, por tanto, esta también diverge.

Nota final

Del teorema anterior se deduce que dos series de términos positivos ∑_n=1^∞ a_n y ∑_n=1^∞ b_n con a_n ~ b_n tienen el mismo carácter. Este resultado es consecuencia inmediata de los apartados a) y b.1) del teorema, teniendo en cuenta que si a_n ~ b_n, se verifica lim_n→∞ (b_n/a_n) = 1.