Conversiones entre bases numéricas: binario, octal y hexadecimal

Conversiones entre bases numéricas

Se presentan las conversiones entre distintas bases (binaria, octal, decimal y hexadecimal), con sus procedimientos y resultados corregidos. Se conservan todos los ejemplos originales y se aclaran los pasos.

a) Conversión de binario a decimal

Ejemplo: 10011

Se multiplica cada dígito por 2 elevado a la posición, empezando en 0 desde la derecha:

10011 = 1·2⁴ + 0·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰ = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19.

b) Conversión de binario fraccionado a decimal

Ejemplo: 1110,101

Parte entera: 1110 = 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ = 8 + 4 + 2 + 0 = 14.

Parte fraccionaria: ,101 = 1·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 = 0,5 + 0 + 0,125 = 0,625.

Por tanto, 1110,101 (binario) = 14,625 (decimal).

c) Conversión de decimal a binario

Ejemplo: 87

Método: dividir sucesivamente entre 2 y tomar los restos; el número binario se forma leyendo los restos de abajo hacia arriba.

• 87 ÷ 2 = 43 resto 1
• 43 ÷ 2 = 21 resto 1
• 21 ÷ 2 = 10 resto 1
• 10 ÷ 2 = 5 resto 0
• 5 ÷ 2 = 2 resto 1
• 2 ÷ 2 = 1 resto 0
• 1 ÷ 2 = 0 resto 1

Resto leído de abajo arriba: 1010111. Es decir, 87 = 1010111 (binario).

d) Conversión de decimal fraccionario a binario

Ejemplo: 0,375

Método: multiplicar la parte fraccionaria por 2; el bit es la parte entera del producto. Si el producto ≥ 1, se resta 1 para la siguiente multiplicación.

• 0,375 · 2 = 0,75 → bit 0 (fracción 0,75)
• 0,75 · 2 = 1,5 → bit 1 (fracción 0,5)
• 0,5 · 2 = 1,0 → bit 1 (fracción 0,0)

Bits obtenidos: 0, 1, 1 → 0,375 = 0,011 (binario).

e) Conversión de octal a decimal

Ejemplo: 123 (base 8)

Se multiplica cada dígito por 8 elevado a la posición, empezando en 0 desde la derecha:

123₈ = 1·8² + 2·8¹ + 3·8⁰ = 64 + 16 + 3 = 83.

f) Conversión de octal fraccionario a decimal

Ejemplo: 642,21 (base 8)

642,21₈ = 6·8² + 4·8¹ + 2·8⁰ + 2·8^-1 + 1·8^-2

Cálculo: 6·64 + 4·8 + 2·1 = 384 + 32 + 2 = 418 (parte entera). Fracción: 2·(1/8) + 1·(1/64) = 0,25 + 0,015625 = 0,265625.

Resultado: 642,21₈ = 418,265625 (decimal).

g) Conversión de decimal a octal

Ejemplo: 1327

Método: dividir sucesivamente entre 8 y tomar los restos; el número octal se forma leyendo los restos de abajo hacia arriba.

• 1327 ÷ 8 = 165 resto 7
• 165 ÷ 8 = 20 resto 5
• 20 ÷ 8 = 2 resto 4
• 2 ÷ 8 = 0 resto 2

Resto leído de abajo arriba: 2457. Es decir, 1327 = 2457 (base 8).

h) Conversión de decimal fraccionario a octal

Ejemplo: 418,265625 (decimal)

Para la parte entera: 418 → 642₈ (ya visto anteriormente en el ejemplo inverso).

Para la parte fraccionaria: multiplicar por 8 sucesivamente.

• 0,265625 · 8 = 2,125 → dígito 2 (fracción 0,125)
• 0,125 · 8 = 1,0 → dígito 1 (fracción 0,0)

Por tanto, la parte fraccionaria es ,21 y 418,265625 = 642,21 (base 8).

Observación: para verificar la parte fraccionaria se puede calcular 2·8^-1 + 1·8^-2 = 0,25 + 0,015625 = 0,265625.

i) Conversión de octal a binario

Ejemplo: 532 (base 8)

Método: convertir cada dígito octal por separado a su equivalente de 3 bits y concatenar.

• 5 → 101
• 3 → 011
• 2 → 010

Concatenando: 101011010. Es decir, 532₈ = 101011010₂.

j) Conversión de binario a octal

Ejemplo: 110111000100 (binario)

Método: agrupar los dígitos binarios de tres en tres, empezando desde la derecha; si es necesario, añadir ceros a la izquierda para completar grupos de 3.

110 111 000 100 → 6 7 0 4 → 6704. Es decir, 110111000100₂ = 6704₈.

k) Conversión de octal fraccionario a binario

Ejemplo: 74,61 (base 8)

Convertir cada dígito a 3 bits y concatenar separando la parte entera y fraccionaria:

• 7 → 111
• 4 → 100
• 6 → 110
• 1 → 001

Resultado: parte entera 74 → 111100; parte fraccionaria ,61 → ,110001. Por tanto, 74,61₈ = 111100,110001₂.

l) Conversión de fraccionario binario a octal

Ejemplo: 1011,10111 (binario)

Método: agrupar los bits de la parte entera de tres en tres desde la derecha y los de la parte fraccionaria de tres en tres desde la izquierda, rellenando con ceros si es necesario.

• Parte entera: 1011 → agrupar como 1 011 → 1 y 3 → 1·8 + 3 = 13 (base 8)
• Parte fraccionaria: 10111 → agrupar como 101 110 (añadiendo un cero a la derecha) → 5 y 6 → ,56 (base 8)

Por tanto, 1011,10111₂ = 13,56₈.

m) Conversión de hexadecimal a decimal

Ejemplo: 2B6 (base 16)

Se toma el valor de cada dígito (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15) y se multiplica por 16 elevado a la posición, empezando en 0 desde la derecha:

2B6₁₆ = 2·16² + B·16¹ + 6·16⁰ = 2·256 + 11·16 + 6 = 512 + 176 + 6 = 694.

Notas finales

• Regla general para enteros: para pasar de base N a decimal, sumar cada dígito multiplicado por N elevado a su posición; para pasar de decimal a base N, dividir sucesivamente entre N y leer los restos de abajo hacia arriba.
• Regla general para fraccionarios: para pasar de base N a decimal, multiplicar cada dígito fraccionario por N elevado a potencias negativas; para pasar de decimal fraccionario a base N, multiplicar la fracción por N y tomar la parte entera en cada paso.
• Al convertir entre bases que son potencias (por ejemplo, 2 → 8 → 16), es práctico agrupar bits: 3 bits por dígito octal, 4 bits por dígito hexadecimal.