Convergencia de Sucesiones Reales y Complejas: Teoremas y Demostraciones

i) Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente.

ii) Toda sucesión de números reales monótona y no acotada es divergente.

Demostración

i) Supongamos que {xn} es una sucesión de números reales creciente y mayorada y sea x = sup {xn : n ∈ N} . Dado ε ∈ R⁺, existe m ∈ N tal que xm > x-ε . Consideremos un natural n tal que n ≥ m. Entonces, x ≥ xn ≥ xm y por tanto |xn - x| = x - xn ≤ x - xm < ε. Se prueba así que {xn} converge a x.

De forma análoga se demuestra que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y minorada entonces {xn} es convergente con lim xn = inf {xn : n ∈ N} .

Esto concluye la demostración del primer apartado pues cualquier sucesión monótona y acotada se encuentra en una, al menos, de las dos situaciones tratadas.

ii) Puesto que las sucesiones crecientes están minoradas y las decrecientes están mayoradas, una sucesión de números reales monótona y no acotada es necesariamente creciente y no mayorada o decreciente y no minorada.

Sea {xn} una sucesión de números reales creciente y no mayorada. Dado un número real α existe m ∈ N tal que xm > α (nótese que en caso contrario estaría mayorada). Dado n ∈ N con n ≥ m tenemos que xn ≥ xm > α . Por tanto, {xn} diverge positivamente. Igualmente sencillo es probar que si {xn} es una sucesión de números reales decreciente y no minorada entonces {xn} diverge negativamente.

Corolario 2.20 (Teorema de Bolzano-Weierstrass)

Toda sucesión de números complejos acotada admite una subsucesión convergente.

Demostración

Sea {zn} una sucesión acotada de números complejos y consideremos las sucesiones de números reales {an} y {bn} dadas por an = Re(zn), bn = Im(zn), para todo n ∈ N. Puesto que {an} está acotada existe, como ya hemos comentado, una subsucesión convergente {a_σ1(n)}. Del mismo modo, la sucesión {bn} está acotada y lo mismo ocurre, en particular, con {b_σ1(n)}. Así pues, esta última sucesión admite una parcial convergente {b_σ1(σ2(n))}. La sucesión {a_σ1(σ2(n))} también es convergente por ser una parcial de {a_σ1(n)}. Puesto que {z_σ1(σ2(n))} = {a_σ1(σ2(n))+b_σ1(σ2(n))i}, ya podemos afirmar que {z_σ1(σ2(n))} es una subsucesión convergente de {zn}

Completitud de C

Toda sucesión de Cauchy de números complejos es convergente.

Demostración

Sea {zn} una sucesión de Cauchy de números complejos y sigamos el esquema esbozado en los comentarios previos. Ya sabemos que {zn} está acotada y que, en virtud del Teorema de Bolzano-Weierstrass, admite una sucesión parcial {z_σ(n)} convergente. Sea z = lim z_σ(n) y consideremos un número real positivo ε. Aplicando a ε/2 la condición de Cauchy, que cumple la sucesión {zn} , y la condición de convergencia correspondiente a {z_σ(n)} conseguimos un natural m (el máximo de los que obtendríamos por separado con cada una de las citadas condiciones) tal que

p, q ∈ N, p,q ≥ m → |zp - zq| < ε/2

y

n ∈ N, n ≥ m |z_σ(n) - z| < ε/2

Sea pues n un natural con n ≥ m. Evidentemente σ(n) ≥ m y es claro que

|zn - z| = |zn - z_σ(n) + z_σ(n) - z| ≤ |zn - z_σ(n)| + |z_σ(n) - z| < ε/2 + ε/2 = ε

Esto prueba que {zn} converge a z.

Teorema 1.18 (Principio de la buena ordenación de los naturales)

Todo subconjunto no vacío de N tiene mínimo.

Demostración

Sea A un subconjunto no vacío de N. Si 1 ∈ A es claro que 1 = min A. Supongamos por tanto que 1 ∉ A y consideremos el conjunto

B = {n ∈ N : n < a, para todo a ∈ A}.

Si B fuese inductivo, coincidiría con N y, en particular, contendría al propio conjunto A. De ello se seguiría que cada elemento de A es estrictamente menor que sí mismo. Puesto que esto no puede ocurrir, el conjunto B no es inductivo. Es claro, por otra parte, que 1 ∈ B. En consecuencia, existe n ∈ B tal que n + 1 ∉ B. De ello se deduce, por una parte, que n < a, para todo a ∈ A, y, por otra, que existe x ∈ A tal que x ≤ n+1. La primera condición implica que n+1 ≤ a, para todo a ∈ A y, en particular, n+1 ≤ x. Luego x = n+1 y queda probado que x es, al mismo tiempo, un elemento de A y un minorante de A, esto es, x = min A.