Control de Sistemas: Lugar de las Raíces, Reguladores y Criterios de Estabilidad

Lugar de las Raíces (LR)

Determina la posición de las raíces mientras K varía de 0 a ∞. Reglas:

1. Número de ramas: número de polos de la función de transferencia (FT) en bucle abierto.
2. Puntos de comienzo y final: Cada rama comienza en un polo y termina en un cero. El número de ceros en el infinito es n (número de polos) - m (número de ceros).
3. Comportamiento en el eje real: Un punto en el eje real pertenece al Lugar de las Raíces (LR) si el número total de polos y ceros a su derecha es impar, sin contar los polos conjugados.
4. Simetría: El LR es simétrico respecto al eje real.
5. Asíntotas: θ_a = (2q+1)π / (n-m), con q = 0, 1, 2...
6. Intersección de asíntotas (Centroide): σ₀ = (Σpolos(G(s)H(s)) - Σceros(G(s)H(s))) / (n-m).
7. Ángulos de salida y llegada: Σθ_ceros - Σθ_polos = ±180º. Se unen todos los ceros y polos a un cero/polo de interés. Los ángulos se toman siempre respecto a la horizontal, incluso si son de un polo/cero conjugado. Si hay un polo doble en el origen, el ángulo se multiplica por 2.
8. Puntos de dispersión y confluencia (Breakaway/Break-in points): Se obtienen de K = f(s) y luego dK/ds = 0 (despejando K de 1 + G(s)H(s) = 0). La ventaja de este método es que al resolver la derivada se obtienen directamente los valores exactos. Para calcular K una vez obtenido s, se sustituye en 1 + G(s)H(s) = 0.
   • Método 1: Σ 1/(σ+p_i) = Σ 1/(σ+z_i)
   • Método 2: Si hay polos/ceros conjugados de la forma -p₁ = -a+jb, -p₂ = -a-jb, en la ecuación del Método 1 se representan por: 2*(σ+a) / ((σ+a)²+b²).

   Para resolver, se identifican los puntos de dispersión (entre polos en el eje real) o confluencia (entre ceros). Se asigna a σ un valor intermedio entre ellos y se sustituye en todos los términos excepto en los dos que marcan el intervalo. Se itera sustituyendo por el nuevo valor de σ obtenido al resolver.

9. Intersección del LR con el eje imaginario: Se iguala 1 + G(s)H(s) = 0 (al ser igual a cero, se puede eliminar el denominador) y se aplica el Criterio de Routh. La fila que contenga un término con K y el resto ceros, se toma ese término y se iguala a 0. Para determinar s, se sustituye el valor de K en la ecuación auxiliar (la fila anterior a la fila de ceros).
10. Cálculo de K en cualquier punto del LR: Se utiliza la condición |G(s)H(s)| = 1, se despeja K, y se sustituye el valor de s en cuestión.

Reguladores

Tanto en el criterio del módulo como en el criterio del argumento, en estos ejercicios, se utilizan los polos dominantes, ya sea para sustituir al calcular ganancias con el criterio del módulo o para calcular los ángulos del criterio del argumento.

• Se utiliza el criterio del módulo para obtener K: |C(s)G(s)| = 1 ⇒ |C(s)||G(s)| = 1. Si se proporciona una condición, por ejemplo, que el control de un polo esté en 'a', entonces se aplica: |C(s)G(s)|_s=-a = 1.
• Si se proporcionan polos dominantes (s_d, par de polos conjugados), el controlador necesitará un cero y un polo, generalmente con el cero más significativo que el polo (a menos que se indique una condición como 'error = 0' que requiera un polo en el origen). Si esa opción no está disponible, podría ser solo con el cero. Se aplica el criterio del argumento calculando los ángulos respecto a los polos dominantes (s_d) para obtener el ángulo del controlador. Luego, se calculan los ángulos desglosando el ángulo de control: ángulo de ceros - ángulo de polos = ángulo de control, sustituyendo los ángulos de ceros y polos con las opciones del test disponibles.
• En otro caso, se proporcionaba la FT en lazo abierto y un regulador. Se solicitaba que el sistema fuera estable y sin error ante una entrada escalón unitario. No necesariamente era de orden superior, y para que fuera estable, la condición necesaria en la ecuación característica es que los coeficientes sean mayores que cero (coefs > 0).
• Se proporciona δ y el valor de la entrada y salida del controlador para t→0, trabajando solo con V(0). Se calcula V(0) = lim(s→∞) sV(s) para obtener Kp. Si hay una Ki, se obtiene comparando la FT en lazo cerrado con la estándar.
• Sin alterar significativamente las características de respuesta al escalón, K = 1. Para reducir el error al 20%, se aplica la relación: error(con regulador) = 0.2 * error(sin regulador).

Criterio de Nyquist

Z = N + P, donde:

• Z: número de polos inestables en bucle cerrado.
• N: número de vueltas al punto crítico (-1, 0j). N > 0 indica una vuelta horaria COMPLETA.
• P: número de polos inestables en bucle abierto.

• Estabilidad: Z = 0.
• Controlador que desestabilice la planta: Kp*(-a).
• Ejemplo de elección de gráfica: Se calcula el módulo y el argumento de G(jω) y se observa la tendencia para ω = 0 y ω = ∞. Si es necesario, se asignan valores a los polos y a ω para determinar cuál de las gráficas es la correcta.

Nota: arctg(ω/a) para polos negativos; para polos positivos, 180º - arctg(ω/a), con 'a' en valor absoluto en ambos casos.

Prefiltros

Se colocan a continuación de la señal de referencia.

• Llevan como polos los ceros de la Función de Transferencia (FT) en lazo cerrado. Para obtener K_f, se utiliza lim(s→0) F(s) = 1.
• Se utiliza el criterio del 20% para cancelar un polo y un cero: 0.8 < |z/p| < 1.2 (se reduce el sistema con conservación de ganancia).

Diagramas de Bode

Nota: Es importante identificar términos tipo (jω) y (jωT ± 1) en G(jω).

• Constante K:
  • Módulo (dB): 20logK dB
  • Argumento: 0º
• Polos/ceros en el origen: (jω)^±n
  • Módulo (dB): -20N dB/década (para polos) / 20N dB/década (para ceros)
  • Argumento: -N*90º (para polos) / N*90º (para ceros)
• Términos de primer orden: (1+jωT)^±1
  • Módulo (dB): -20 dB/década (para polos, ω > 1/T) / 20 dB/década (para ceros, ω > 1/T)
  • Argumento: Para 1/(10T) < ω < 10/T, -45º (para polos) / 45º (para ceros). Para ω > 10/T, -90º (para polos) / 90º (para ceros).

  Nota: Los argumentos cambian de signo si se tiene (jωT - 1)^±1.

• Términos de segundo orden: (jω/ω_n)² + 2δjω/ω_n + 1
  • Módulo (dB): -40 dB/década (para polos, ω > ω_n) / 40 dB/década (para ceros, ω > ω_n)
  • Argumento: Para ω_n/10 < ω < 10ω_n, -90º (para polos) / 90º (para ceros). Para ω > 10ω_n, -180º (para polos) / 180º (para ceros).
• Para dibujar el comienzo en dB, se asigna el valor de ω en el inicio y se consideran K, polos y ceros en el origen: |G(jω)|_dB = 20logK - 20log|1/(jω)| + 20log|jω|.
• Margen de fase (M_f): M_f = 180º + arg(G(jω_f)), donde ω_f es la frecuencia donde el módulo corta los 0 dB.
• Margen de ganancia (K_g): K_g = |G(jω_g)|^-1 = -20log|G(jω_g)|. Si ω_g > ω_f, el sistema es inestable.
• Para que un regulador aporte un argumento positivo, el cero debe ser más significativo.
• Rapidez en Bode: t_r = 1/(2f_r) = π/ω_c (donde ω_c es la frecuencia de corte).