Contrastes de hipótesis con t de Student e intervalos de confianza en estudios educativos

Contraste de hipótesis: inteligencia en alumnos de 6.º de primaria

Una psicóloga que trabaja en el servicio de orientación de un colegio decide aplicar una prueba de inteligencia a los alumnos de 6.º de primaria de su centro. El test de inteligencia ofrece, en el baremo, una media de 100 para niños y niñas de 12 años. La psicóloga aplica la prueba a 85 alumnos de 6.º de primaria, obteniendo una media muestral de inteligencia de 105 y una desviación típica muestral de 15. La psicóloga no está segura de si los 5 puntos de diferencia entre los datos de su colegio y los del baremo es una distancia lo suficientemente grande como para afirmar que los alumnos de su centro son más inteligentes que la población normal.

Datos

• Población: media (μ) = 100; desviación típica (σ) desconocida; tamaño N desconocido.
• Muestra: media (&bar;x;) = 105; desviación típica muestral (S) = 15; tamaño de la muestra (n) = 85.

1) Formulación de hipótesis

Siempre se hace con la media poblacional

• H₀: μ = 100
• H₁: μ ≠ 100 (contraste bilateral)

2) Supuestos básicos

Distribución normal de la variable en la población, homogeneidad de varianzas, independencia de las observaciones y ausencia de valores atípicos.

3) Estadístico de contraste y distribución muestral

Como se desconoce σ, se utiliza el estadístico t de Student para una muestra. Los grados de libertad son n − 1 = 84.

4) Determinaciones previas

• Nivel de significación: α = 0,05 → α/2 = 0,025
• Región crítica: bilateral
• Criterio de decisión: se rechaza H₀ si el valor absoluto del estadístico calculado supera el valor crítico t_{n-1; α/2}.

5) Cálculo del estadístico de contraste

t(84) = (&bar;x; − μ) / (S / √n) = (105 − 100) / (15 / √85) = 5 / (15 / 9,2195) ≈ 3,08.

6) Decisión

El valor crítico aproximado para t(84) y α/2 = 0,025 es ≈ 1,99. Como 3,08 ≥ 1,99, rechazamos H₀. Concluimos que la media muestral es significativamente distinta de 100: los alumnos del colegio presentan una puntuación de inteligencia significativamente mayor que la población de referencia. La probabilidad de obtener al azar una muestra con media 105 cuando la media poblacional fuera 100 es muy baja.

Estudio sobre estimulación cognitiva en niños y niñas con dislexia

Una investigación llevada a cabo por profesoras de la Universidad Villanueva encuentra que los niños y niñas con dislexia tienen una media de 190 en un conocido test de desarrollo cognitivo. Las investigadoras creen que si los niños y niñas son sometidos a estimulación cognitiva la media mejorará. Para probarlo, aplican un programa de estimulación cognitiva a 65 niños y niñas, obteniendo una media muestral de 198 y una desviación típica muestral de 24 en el test de desarrollo cognitivo.

Pregunta: ¿Podemos afirmar que los datos obtenidos apoyan la hipótesis de las investigadoras?

Tarea

Realizar un contraste de hipótesis calculando el intervalo de confianza de la media del desarrollo cognitivo en los niños y niñas con dislexia sometidos a estimulación cognitiva, con un nivel de confianza del 95% y asumiendo una distribución normal.

1) Nivel de confianza

(1 − α) = 0,95 → α = 0,05

2) Cálculo del error máximo (E_max)

• Error estándar (E standard) = S / √n = 24 / √65 ≈ 24 / 8,062 = 2,98 (aprox.).
• Valor crítico t para n − 1 = 64 y α/2 = 0,025: t_64;0,025 ≈ 1,99 (aproximadamente 1,998).
• E_max = t_64;0,025 × (S / √n) ≈ 1,99 × 2,98 ≈ 5,95.

3) Intervalo de confianza del 95%

• Límite inferior = &bar;x; − E_max = 198 − 5,95 ≈ 192,05
• Límite superior = &bar;x; + E_max = 198 + 5,95 ≈ 203,95
• Intervalo de confianza (95%): aproximadamente [192,05; 203,95].

4) Contraste de hipótesis usando el intervalo de confianza

La hipótesis que proponen las investigadoras establece que la media poblacional sería μ = 190 en ausencia del tratamiento (o como valor de referencia). Como 190 queda fuera del intervalo de confianza [192,05; 203,95] —en concreto, por debajo del límite inferior— rechazamos la hipótesis nula (H₀: μ = 190) al nivel del 5%. Concluimos que la estimulación cognitiva mejora significativamente la puntuación en el test de desarrollo cognitivo en niños y niñas con dislexia, según los datos muestrales.

Observaciones finales y buenas prácticas

• Comprobar siempre los supuestos (normalidad, ausencia de valores atípicos e independencia) antes de aplicar el test t.
• Si la muestra fuera pequeña o los supuestos no se cumplen, considerar métodos no paramétricos o transformaciones.
• Cuando sea posible, reportar también el intervalo de confianza y el tamaño del efecto (por ejemplo, d de Cohen) para complementar la significación estadística.

Referencias rápidas

• Estadístico t de Student para una muestra: t = (&bar;x; − μ) / (S / √n).
• Error estándar: SE = S / √n.
• Intervalo de confianza (1 − α): &bar;x; ± t_{n−1; α/2} × SE.

Documento corregido y estructurado por un profesor experto en Matemáticas